Шварцшилдов полупречник

Шварцшилдов полупречник или Шварцшилдов радијус је удаљеност од средишта црне рупе на којој се налази хоризонт догађаја. Појам користе физичари, астрономи, посебно у вези теорије гравитације и опште теорије релативитета. Име је добио по немачком астрофизичару Карлу Шварцшиллду, који је 1917. године пронашао решење Ајнштајнових једначина за статичну сферносиметричну расподелу масе. Нумерички је приближно Шварцшилдов полупречник црне рупе масе М:

$R_{g}\approx 3km\times M/M_{Sunce}$

Ово значи да је за Сунце 3 km, а за Земљу 9 mm. У Случају ротирајуће црне рупе формула је мало различита. Ни једна честица ни светлост не могу побећи изнутра напоље. Шварцшилдов полупречник за црну рупу која се налази у нашем галактичком центру је 7,8 милиона km.

Шварцшилдов полупречник лопте хомогене густине једнаке критичној густини је једнака полупречнику видљиве васионе.

Формула Шварцшилдовог полупречника[уреди | уреди извор]

Шврцшилдов полупречник је сразмеран маси, са константом прорпорционалности која укључује гравитациону константу и брзину светлости. Сама формула се добија када се брзина светлости постави као брзина бежања из црне рупе, и добије

r_{s}={\frac {2Gm}{c^{2}}}

где је

r_{s}

Шварцшилдов полупречник

G

гравитациона константа, тј. 6.67 × 10^-11 N m² / kg²;

m маса свемирског објекта, звезде, галаксије; и

c² је квадрат брзине светлости, што је (299,792,458 m/s)² = 8.98755 × 10¹⁶ m²/s².^[1]

Константа сразмере, $2G/c^{2}$ , је приближно 1.48 × 10^-27 m / kg.

Ово значи да се једначина, коначно, може написати као

r_{s}=m\times 1.48\times 10^{-27}\,

где је $r_{s}$ у метрима и $m$ у килограмима.

Приметимо да, мада је резултат исправан, једино општа теорија релативитета даје потпуно исправан резултат. Потпуна је случајност што се применом класичне, Њутновске физике добија исти резултат.^[2]

Историја[уреди | уреди извор]

Године 1916, Карл Шварцшилд је добио тачно решење^[3]^[4] Ајнштајнових једначина поља за гравитационо поље изван неротирајућег, сферно симетричног тела са масом $M$ (погледајте Шварцшилдова метрика). Решење је садржало термине облика $1-{r_{s}}/r$ and ${\frac {1}{1-{r_{s}}/r}}$ , који постају сингуларни при $r=0$ и $r=r_{s}$ респективно. Величина $r_{s}$ је постала познат као Шварцшилдов радијус. О физичком значају ових сингуларности расправљало се деценијама. Утврђено је да је $r=r_{s}$ координатна сингуларност, што значи да је артефакт одређеног система координата који су коришћени; док је онај код $r=0$ просторно-временска сингуларност и не може се уклонити.^[5] Шварцшилдов полупречник је ипак физички релевантна величина, као што је наведено изнад и испод.

Овај израз је претходно израчунат, користећи Њутнову механику, као полупречник сферно симетричног тела при коме је излазна брзина једнака брзини светлости. Идентификовали су га у 18. веку Џон Мичел^[6] и Пјер-Симон Лаплас.^[7]

Parameters[уреди | уреди извор]

Шварцшилдов полупречник објекта је пропорционалан његовој маси. Сходно томе, Сунце има Шварцшилдов радијус од приближно 3,0 km (1,9 mi), док је Земљин само око 9 mm (0,35 in), а Месечев око 0,1 mm (0,0039 in). Маса видљивог свемира има Шварцшилдов полупречник од приближно 13,7 милијарди светлосних година.^[8]

Објекат	Маса ${\textstyle M}$	Шварцшилдов полупречник ${\textstyle {\frac {2GM}{c^{2}}}}$	Стварни полупречник ${\textstyle r}$	Шварцшилдов густина ${\textstyle {\frac {3c^{6}}{32\pi G^{3}M^{2}}}}$ или ${\textstyle {\frac {3c^{2}}{8\pi Gr^{2}}}}$
Видљиви свемир	8,8×10⁵² kg	1,3×10²⁶ m (13,7 милијарда ly)	4,4×10²⁶ m (46,5 милијарда ly)	9,5×10^-27 kg/m³
Млечни пут	1,6×10⁴² kg	2,4×10¹⁵ m (0,25 ly)	5×10²⁰ m (52,9 хиљада ly)	0,000029 kg/m³
TON 618 (највећа позната црна рупа)	1,3×10⁴¹ kg	1,9×10¹⁴ m (~1300 AU)		0,0045 kg/m³
SMBH у NGC 4889	4,2×10⁴⁰ kg	6,2×10¹³ m (~410 AU)		0,042 kg/m³
SMBH у Messier 87^[9]	1,3×10⁴⁰ kg	1,9×10¹³ m (~130 AU)		0,44 kg/m³
SMBH у галаксији Андромеда^[10]	3,4×10³⁸ kg	5,0×10¹¹ m (3,3 AU)		640 kg/m³
Sagittarius A* (SMBH у Млечном путу)^[11]	8,262×10³⁶ kg	1,227×10¹⁰ m (0,08 AU)		1,0678×10⁶ kg/m³
SMBH у NGC 4395^[12]	7,1568 × ×10³⁵ kg	1,062×10⁹m (1,53 R☀️)		1,4230×10⁸ kg/m³
Потенцијална црна рупа средње величине у HCN-0.009-0.044^[13]	6,3616 × ×10³⁴ kg	9,44×10⁸ m (14,8 R_🜨)		1,8011×10¹⁰ kg/m³
Резултирајућа средња црна рупа од GW190521 спајања^[14]	2,823×10³² kg	4,189×10⁵ m (0,066 R_🜨)		9,125×10¹⁴ kg/m³
Сунце	1,99×10³⁰ kg	2,95×10³ m	7,0×10⁸ m	1,84×10¹⁹ kg/m³
Јупитер	1,90×10²⁷ kg	2,82 m	7,0×10⁷ m	2,02×10²⁵ kg/m³
Земља	5,97×10²⁴ kg	8,87×10^-3 m	6,37×10⁶ m	2,04×10³⁰ kg/m³
Месец	7,35×10²² kg	1,09×10^-4 m	1,74×10⁶ m	1,35×10³⁴ kg/m³
Сатурн	5,683×10²⁶ kg	8,42×10^-1 m	6,03×10⁷ m	2,27×10²⁶ kg/m³
Уран	8,681×10²⁵ kg	1,29×10^-1 m	2,56×10⁷ m	9,68×10²⁷ kg/m³
Нептун	1,024×10²⁶ kg	1,52×10^-1 m	2,47×10⁷ m	6,97×10²⁷ kg/m³
Меркур	3,285×10²³ kg	4,87×10^-4 m	2,44×10⁶ m	6,79×10³² kg/m³
Венера	4,867×10²⁴ kg	7,21×10^-3 m	6,05×10⁶ m	3,10×10³⁰ kg/m³
Марс	6,39×10²³ kg	9,47×10^-4 m	3,39×10⁶ m	1,80×10³² kg/m³
Човек	70 kg	1,04×10^-25 m	~5×10^-1 m	1,49×10⁷⁶ kg/m³
Планкова маса	2,18×10^-8 kg	3,23×10^-35 m	(две Планкове дужине)	1,54×10⁹⁵ kg/m³

Види још[уреди | уреди извор]

Референце[уреди | уреди извор]

^ Kutner, Marc (2003). Astronomy: A Physical Perspective. Cambridge University Press. стр. 148. ISBN 9780521529273.
^ Guidry, Mike (2019-01-03). Modern General Relativity: Black Holes, Gravitational Waves, and Cosmology (на језику: енглески). Cambridge University Press. стр. 92. ISBN 978-1-107-19789-3.
^ K. Schwarzschild, "Über das Gravitationsfeld eines Massenpunktes nach der Einsteinschen Theorie", Sitzungsberichte der Deutschen Akademie der Wissenschaften zu Berlin, Klasse fur Mathematik, Physik, und Technik (1916) pp 189.
^ K. Schwarzschild, "Über das Gravitationsfeld einer Kugel aus inkompressibler Flussigkeit nach der Einsteinschen Theorie", Sitzungsberichte der Deutschen Akademie der Wissenschaften zu Berlin, Klasse fur Mathematik, Physik, und Technik (1916) pp 424.
^ Wald, Robert (1984). General Relativity. The University of Chicago Press. стр. 152–153. ISBN 978-0-226-87033-5.
^ Schaffer, Simon (1979). „John Michell and Black Holes”. Journal for the History of Astronomy. 10: 42—43. Bibcode:1979JHA....10...42S. S2CID 123958527. doi:10.1177/002182867901000104. Приступљено 4. 6. 2018.
^ Colin Montgomery, Wayne Orchiston and Ian Whittingham, "Michell, Laplace and the origin of the Black Hole Concept" Архивирано на сајту Wayback Machine (2. мај 2014), Journal of Astronomical History and Heritage, 12(2), 90–96 (2009).
^ Deza, Michel Marie; Deza, Elena (28. 10. 2012). Encyclopedia of Distances (2nd изд.). Heidelberg: Springer Science & Business Media. стр. 452. ISBN 978-3-642-30958-8. doi:10.1007/978-3-642-30958-8. Приступљено 8. 12. 2014.
^ Event Horizon Telescope Collaboration (2019). „First M87 Event Horizon Telescope Results. I. The Shadow of the Supermassive Black Hole”. Astrophysical Journal Letters. 875 (1): L1. Bibcode:2019ApJ...875L...1E. arXiv:1906.11238 . doi:10.3847/2041-8213/AB0EC7 . 6,5(7) × 10⁹ M_☉ = 1,29(14)×10⁴⁰ kg.
^ Bender, Ralf; Kormendy, John; Bower, Gary; et al. (2005). „HST STIS Spectroscopy of the Triple Nucleus of M31: Two Nested Disks in Keplerian Rotation around a Supermassive Black Hole”. Astrophysical Journal. 631 (1): 280—300. Bibcode:2005ApJ...631..280B. S2CID 53415285. arXiv:astro-ph/0509839 . doi:10.1086/432434. 1,7(6) × 10⁸ M_☉ = 0,34(12)×10³⁹ kg.
^ Ghez, A. M.; et al. (децембар 2008). „Measuring Distance and Properties of the Milky Way's Central Supermassive Black Hole with Stellar Orbits”. Astrophysical Journal. 689 (2): 1044—1062. Bibcode:2008ApJ...689.1044G. S2CID 18335611. arXiv:0808.2870 . doi:10.1086/592738.
^ Peterson, Bradley M.; Bentz, Misty C.; Desroches, Louis-Benoit; Filippenko, Alexei V.; Ho, Luis C.; Kaspi, Shai; Laor, Ari; Maoz, Dan; Moran, Edward C.; Pogge, Richard W.; Quillen, Alice C. (2005-10-20). „Multiwavelength Monitoring of the Dwarf Seyfert 1 Galaxy NGC 4395. I. A Reverberation-Based Measurement of the Black Hole Mass”. The Astrophysical Journal. 632 (2): 799—808. Bibcode:2005ApJ...632..799P. ISSN 0004-637X. S2CID 13886279. arXiv:astro-ph/0506665 . doi:10.1086/444494. hdl:1811/48314.
^ Sciences, National Institutes of Natural. „Hiding black hole found”. phys.org (на језику: енглески). Приступљено 2022-06-15.
^ Abbott, R.; Abbott, T. D.; Abraham, S.; Acernese, F.; Ackley, K.; Adams, C.; Adhikari, R. X.; Adya, V. B.; Affeldt, C.; Agathos, M.; Agatsuma, K. (2020-09-02). „Properties and Astrophysical Implications of the 150 M _⊙ Binary Black Hole Merger GW190521”. The Astrophysical Journal (на језику: енглески). 900 (1): L13. Bibcode:2020ApJ...900L..13A. ISSN 2041-8213. S2CID 221447444. arXiv:2009.01190 . doi:10.3847/2041-8213/aba493.

Литература[уреди | уреди извор]

Schwarzschild, K. (1916). „Über das Gravitationsfeld eines Massenpunktes nach der Einsteinschen Theorie”. Sitzungsberichte der Königlich Preussischen Akademie der Wissenschaften. 7: 189—196. Bibcode:1916AbhKP1916..189S.

Text of the original paper, in Wikisource
Translation: Antoci, S.; Loinger, A. (1999). „On the gravitational field of a mass point according to Einstein's theory”. arXiv:physics/9905030 .
A commentary on the paper, giving a simpler derivation: Bel, L. (2007). „Über das Gravitationsfeld eines Massenpunktesnach der Einsteinschen Theorie”. arXiv:0709.2257  [gr-qc].

Schwarzschild, K. (1916). „Über das Gravitationsfeld einer Kugel aus inkompressibler Flüssigkeit”. Sitzungsberichte der Königlich Preussischen Akademie der Wissenschaften. 1: 424.

Text of the original paper, in Wikisource
Translation: Antoci, S. (1999). „On the gravitational field of a sphere of incompressible fluid according to Einstein's theory”. arXiv:physics/9912033 .

Flamm, L. (1916). „Beiträge zur Einstein'schen Gravitationstheorie”. Physikalische Zeitschrift. 17: 448.
Adler, R.; Bazin, M.; Schiffer, M. (1975). Introduction to General Relativity (2nd изд.). McGraw-Hill. Chapter 6. ISBN 0-07-000423-4.
Landau, L. D.; Lifshitz, E. M. (1951). The Classical Theory of Fields. Course of Theoretical Physics. 2 (4th Revised English изд.). Pergamon Press. Chapter 12. ISBN 0-08-025072-6.
Misner, C. W.; Thorne, K. S.; Wheeler, J. A. (1970). Gravitation. W.H. Freeman. Chapters 31 and 32. ISBN 0-7167-0344-0.
Weinberg, S. (1972). Gravitation and Cosmology: Principles and Applications of the General Theory of Relativity. John Wiley & Sons. Chapter 8. ISBN 0-471-92567-5.
Taylor, E. F.; Wheeler, J. A. (2000). Exploring Black Holes: Introduction to General Relativity. Addison-Wesley. ISBN 0-201-38423-X.
Heinzle, J. M.; Steinbauer, R. (2002). „Remarks on the distributional Schwarzschild geometry”. Journal of Mathematical Physics. 43 (3): 1493—1508. Bibcode:2002JMP....43.1493H. S2CID 119677857. arXiv:gr-qc/0112047 . doi:10.1063/1.1448684.

Спољашње везе[уреди | уреди извор]

Hazewinkel Michiel, ур. (2001). „Einstein equations”. Encyclopaedia of Mathematics. Springer. ISBN 978-1556080104.
Caltech Tutorial on Relativity — A simple introduction to Einstein's Field Equations.
The Meaning of Einstein's Equation — An explanation of Einstein's field equation, its derivation, and some of its consequences
Video Lecture on Einstein's Field Equations by MIT Physics Professor Edmund Bertschinger.
Arch and scaffold: How Einstein found his field equations Physics Today November 2015, History of the Development of the Field Equations

[1] Kutner, Marc (2003). Astronomy: A Physical Perspective. Cambridge University Press. стр. 148. ISBN 9780521529273.

[2] Guidry, Mike (2019-01-03). Modern General Relativity: Black Holes, Gravitational Waves, and Cosmology (на језику: енглески). Cambridge University Press. стр. 92. ISBN 978-1-107-19789-3.

[3] K. Schwarzschild, "Über das Gravitationsfeld eines Massenpunktes nach der Einsteinschen Theorie", Sitzungsberichte der Deutschen Akademie der Wissenschaften zu Berlin, Klasse fur Mathematik, Physik, und Technik (1916) pp 189.

[4] K. Schwarzschild, "Über das Gravitationsfeld einer Kugel aus inkompressibler Flussigkeit nach der Einsteinschen Theorie", Sitzungsberichte der Deutschen Akademie der Wissenschaften zu Berlin, Klasse fur Mathematik, Physik, und Technik (1916) pp 424.

[5] Wald, Robert (1984). General Relativity. The University of Chicago Press. стр. 152–153. ISBN 978-0-226-87033-5.

[Schaffer-6] Schaffer, Simon (1979). „John Michell and Black Holes”. Journal for the History of Astronomy. 10: 42—43. Bibcode:1979JHA....10...42S. S2CID 123958527. doi:10.1177/002182867901000104. Приступљено 4. 6. 2018.

[7] Colin Montgomery, Wayne Orchiston and Ian Whittingham, "Michell, Laplace and the origin of the Black Hole Concept" Архивирано на сајту Wayback Machine (2. мај 2014), Journal of Astronomical History and Heritage, 12(2), 90–96 (2009).

[8] Deza, Michel Marie; Deza, Elena (28. 10. 2012). Encyclopedia of Distances (2nd изд.). Heidelberg: Springer Science & Business Media. стр. 452. ISBN 978-3-642-30958-8. doi:10.1007/978-3-642-30958-8. Приступљено 8. 12. 2014.

[Event_Horizon_Telescope_Collaboration_et_al._2019-9] Event Horizon Telescope Collaboration (2019). „First M87 Event Horizon Telescope Results. I. The Shadow of the Supermassive Black Hole”. Astrophysical Journal Letters. 875 (1): L1. Bibcode:2019ApJ...875L...1E. arXiv:1906.11238 . doi:10.3847/2041-8213/AB0EC7 . 6,5(7) × 10⁹ M_☉ = 1,29(14)×10⁴⁰ kg.

[Bender_et_al_2005-10] Bender, Ralf; Kormendy, John; Bower, Gary; et al. (2005). „HST STIS Spectroscopy of the Triple Nucleus of M31: Two Nested Disks in Keplerian Rotation around a Supermassive Black Hole”. Astrophysical Journal. 631 (1): 280—300. Bibcode:2005ApJ...631..280B. S2CID 53415285. arXiv:astro-ph/0509839 . doi:10.1086/432434. 1,7(6) × 10⁸ M_☉ = 0,34(12)×10³⁹ kg.

[Ghez08-11] Ghez, A. M.; et al. (децембар 2008). „Measuring Distance and Properties of the Milky Way's Central Supermassive Black Hole with Stellar Orbits”. Astrophysical Journal. 689 (2): 1044—1062. Bibcode:2008ApJ...689.1044G. S2CID 18335611. arXiv:0808.2870 . doi:10.1086/592738.

[12] Peterson, Bradley M.; Bentz, Misty C.; Desroches, Louis-Benoit; Filippenko, Alexei V.; Ho, Luis C.; Kaspi, Shai; Laor, Ari; Maoz, Dan; Moran, Edward C.; Pogge, Richard W.; Quillen, Alice C. (2005-10-20). „Multiwavelength Monitoring of the Dwarf Seyfert 1 Galaxy NGC 4395. I. A Reverberation-Based Measurement of the Black Hole Mass”. The Astrophysical Journal. 632 (2): 799—808. Bibcode:2005ApJ...632..799P. ISSN 0004-637X. S2CID 13886279. arXiv:astro-ph/0506665 . doi:10.1086/444494. hdl:1811/48314.

[13] Sciences, National Institutes of Natural. „Hiding black hole found”. phys.org (на језику: енглески). Приступљено 2022-06-15.

[14] Abbott, R.; Abbott, T. D.; Abraham, S.; Acernese, F.; Ackley, K.; Adams, C.; Adhikari, R. X.; Adya, V. B.; Affeldt, C.; Agathos, M.; Agatsuma, K. (2020-09-02). „Properties and Astrophysical Implications of the 150 M _⊙ Binary Black Hole Merger GW190521”. The Astrophysical Journal (на језику: енглески). 900 (1): L13. Bibcode:2020ApJ...900L..13A. ISSN 2041-8213. S2CID 221447444. arXiv:2009.01190 . doi:10.3847/2041-8213/aba493.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]