Кошијев низ

Кошијев низ^{[н. 1]} је низ чији су узастопни елементи произвољно близу један другом за довољно велике индексе елемената.

Кошијев низ у скупу реалних бројева

Низ реалних бројева, x₁, x₂, x₃... назива се Кошијевим, ако за произвољно мало $\epsilon$ може да се нађе индекс n₀ за који је апсолутна разлика било која два елемента низа са индексом већим од њега мања од $\epsilon$ . Симболичким језиком писано, низ реалних бројева (x_n) је Кошијев, ако:

$(\forall \epsilon >0)(\exists n_{0}\in \mathbb {N} )(\forall m,n\in \mathbb {N} )(m,n>n_{0}\Rightarrow |x_{m}-x_{n}|<\epsilon )$ .

Кошијев низ у метричким просторима

У метричком простору M, са метриком d, низ елемената скупа M је Кошијев, ако за произвољно мало $\epsilon$ може да се нађе индекс n₀ за који је удаљеност било која два елемента низа са индексом већим од њега мања од $\epsilon$ . Симболичким језиком писано, низ елемената (x_n) метричког простора је Кошијев, ако:

$(\forall \epsilon >0)(\exists n_{0}\in \mathbb {N} )(\forall m,n\in \mathbb {N} )(m,n>n_{0}\Rightarrow d(x_{m},x_{n})<\epsilon )$ .

Кошијев низ у метричким просторима могао би се дефинисати и на сљедећи начин:^[1] Низ x₁, x₂, x₃... је Кошијев ако удаљеност елемената x_m и x_n тежи нули кад мањи од индекса m и n тежи бесконачности. Симболичким језиком написано, низ елемената (x_n) метричког простора је Кошијев, ако:

$\lim _{min(m,n)\rightarrow \infty }d(x_{m},x_{n})=0$ .

Особине

За Кошијеве низове, и у скупу реалних бројева,^[2] и у произвољним метричким просторима,^[3] важе сљедеће особине:

Сваки конвергентан низ је Кошијев
Сваки Кошијев низ је ограничен
Ако Кошијев низ има конвергентан подниз, он је и сам конвергентан.

Обратно тврђење од тврђења 1, међутим, не мора увијек да важи. У скупу реалних бројева оно заиста важи, што се доказује посебном теоремом,^[2] али не и у произвољном метричком простору.

Комплетност

За оне метричке просторе за које је тачно да је сваки Кошијев низ конвергентан, каже се да су комплетни.^[3]^{[н. 2]} Један примјер комплетних метричких простора је управо горепоменути скуп реалних бројева, дефинисан стандардном метриком $d(x,y)=|x-y|$ .

Види још

Низ

Напомене

^ Добио је име по француском математичару Огистену Лују Кошију.
^ Комплетност, као важна особина метричког простора, дефинисана на горе описани начин, услов је бројних математичких теорема; једна од таквих је и Банахова теорема о непокретној тачки, која је и сама важна за доказивање неких других математичких теорема.

Извори

^ „Cauchy Sequence”. Wolfram MathWorld. Приступљено 24. 9. 2009.
^ ^а ^б Аднађевић и Каделбург 1998, стр. 59. ↓
^ ^а ^б Аднађевић и Каделбург 1998, стр. 247. ↓

Литература

Аднађевић, Душан; Каделбург, Зоран (1998). Математичка анализа I. Наука, Београд. ISBN 978-86-7621-088-6.
Bourbaki, Nicolas (1972). Commutative Algebra (English translation изд.). Addison-Wesley. ISBN 978-0-201-00644-5.
Krause, Henning (2018), Completing perfect complexes: With appendices by Tobias Barthel and Bernhard Keller, Bibcode:2018arXiv180510751B, arXiv:1805.10751 
Lang, Serge (1993), Algebra (Third изд.), Reading, Mass.: Addison-Wesley, ISBN 978-0-201-55540-0, Zbl 0848.13001
Spivak, Michael (1994). Calculus (3rd изд.). Berkeley, CA: Publish or Perish. ISBN 978-0-914098-89-8. Архивирано из оригинала 17. 05. 2007. г. Приступљено 07. 05. 2019.
Troelstra, A. S.; Dalen, D. van. Constructivism in Mathematics: An Introduction. (for uses in constructive mathematics)

[1] Добио је име по француском математичару Огистену Лују Кошију.

[5] Комплетност, као важна особина метричког простора, дефинисана на горе описани начин, услов је бројних математичких теорема; једна од таквих је и Банахова теорема о непокретној тачки, која је и сама важна за доказивање неких других математичких теорема.

[2] „Cauchy Sequence”. Wolfram MathWorld. Приступљено 24. 9. 2009.

[adnadjevic59-3] а ^б Аднађевић и Каделбург 1998, стр. 59. ↓

[adnadjevic247-4] а ^б Аднађевић и Каделбург 1998, стр. 247. ↓

[н. 1]

[1]

[2]

[3]

[н. 2]