Košijev niz

Košijev niz^[a] je niz čiji su uzastopni elementi proizvoljno blizu jedan drugom za dovoljno velike indekse elemenata.

Košijev niz u skupu realnih brojeva

Niz realnih brojeva, x₁, x₂, x₃... naziva se Košijevim, ako za proizvoljno malo $\epsilon$ može da se nađe indeks n₀ za koji je apsolutna razlika bilo koja dva elementa niza sa indeksom većim od njega manja od $\epsilon$ . Simboličkim jezikom pisano, niz realnih brojeva (x_n) je Košijev, ako:

$(\forall \epsilon >0)(\exists n_{0}\in \mathbb {N} )(\forall m,n\in \mathbb {N} )(m,n>n_{0}\Rightarrow |x_{m}-x_{n}|<\epsilon )$ .

Košijev niz u metričkim prostorima

U metričkom prostoru M, sa metrikom d, niz elemenata skupa M je Košijev, ako za proizvoljno malo $\epsilon$ može da se nađe indeks n₀ za koji je udaljenost bilo koja dva elementa niza sa indeksom većim od njega manja od $\epsilon$ . Simboličkim jezikom pisano, niz elemenata (x_n) metričkog prostora je Košijev, ako:

$(\forall \epsilon >0)(\exists n_{0}\in \mathbb {N} )(\forall m,n\in \mathbb {N} )(m,n>n_{0}\Rightarrow d(x_{m},x_{n})<\epsilon )$ .

Košijev niz u metričkim prostorima mogao bi se definisati i na sljedeći način:^[1] Niz x₁, x₂, x₃... je Košijev ako udaljenost elemenata x_m i x_n teži nuli kad manji od indeksa m i n teži beskonačnosti. Simboličkim jezikom napisano, niz elemenata (x_n) metričkog prostora je Košijev, ako:

$\lim _{min(m,n)\rightarrow \infty }d(x_{m},x_{n})=0$ .

Osobine

Za Košijeve nizove, i u skupu realnih brojeva,^[2] i u proizvoljnim metričkim prostorima,^[3] važe sljedeće osobine:

Svaki konvergentan niz je Košijev
Svaki Košijev niz je ograničen
Ako Košijev niz ima konvergentan podniz, on je i sam konvergentan.

Obratno tvrđenje od tvrđenja 1, međutim, ne mora uvijek da važi. U skupu realnih brojeva ono zaista važi, što se dokazuje posebnom teoremom,^[2] ali ne i u proizvoljnom metričkom prostoru.

Kompletnost

Za one metričke prostore za koje je tačno da je svaki Košijev niz konvergentan, kaže se da su kompletni.^[3]^[b] Jedan primjer kompletnih metričkih prostora je upravo gorepomenuti skup realnih brojeva, definisan standardnom metrikom $d(x,y)=|x-y|$ .

Vidi još

Niz

Napomene

^ Dobio je ime po francuskom matematičaru Ogistenu Luju Košiju.
^ Kompletnost, kao važna osobina metričkog prostora, definisana na gore opisani način, uslov je brojnih matematičkih teorema; jedna od takvih je i Banahova teorema o nepokretnoj tački, koja je i sama važna za dokazivanje nekih drugih matematičkih teorema.

Izvori

^ „Cauchy Sequence”. Wolfram MathWorld. Pristupljeno 24. 9. 2009.
^ ^a ^b Adnađević i Kadelburg 1998, str. 59. ↓
^ ^a ^b Adnađević i Kadelburg 1998, str. 247. ↓

Literatura

Adnađević, Dušan; Kadelburg, Zoran (1998). Matematička analiza I. Nauka, Beograd. ISBN 978-86-7621-088-6.
Bourbaki, Nicolas (1972). Commutative Algebra (English translation izd.). Addison-Wesley. ISBN 978-0-201-00644-5.
Krause, Henning (2018), Completing perfect complexes: With appendices by Tobias Barthel and Bernhard Keller, Bibcode:2018arXiv180510751B, arXiv:1805.10751 
Lang, Serge (1993), Algebra (Third izd.), Reading, Mass.: Addison-Wesley, ISBN 978-0-201-55540-0, Zbl 0848.13001
Spivak, Michael (1994). Calculus (3rd izd.). Berkeley, CA: Publish or Perish. ISBN 978-0-914098-89-8. Arhivirano iz originala 17. 05. 2007. g. Pristupljeno 07. 05. 2019.
Troelstra, A. S.; Dalen, D. van. Constructivism in Mathematics: An Introduction. (for uses in constructive mathematics)

[1] Dobio je ime po francuskom matematičaru Ogistenu Luju Košiju.

[5] Kompletnost, kao važna osobina metričkog prostora, definisana na gore opisani način, uslov je brojnih matematičkih teorema; jedna od takvih je i Banahova teorema o nepokretnoj tački, koja je i sama važna za dokazivanje nekih drugih matematičkih teorema.

[2] „Cauchy Sequence”. Wolfram MathWorld. Pristupljeno 24. 9. 2009.

[adnadjevic59-3] Adnađević i Kadelburg 1998, str. 59. ↓

[adnadjevic247-4] Adnađević i Kadelburg 1998, str. 247. ↓

[a]

[1]

[2]

[3]

[b]