Банахова теорема о непокретној тачки
Банахова теорема о непокретној тачки (такође позната као теорема о контракционом пресликавању или принцип контракционог пресликавања) је важан алат у теорији метричких простора; она гарантује постојање и јединственост непокретних тачака одређених пресликавања из неког метричког простора у самог себе, и даје конструктивни метод за проналажење тих непокретних тачака. Теорема је добила име по Стефану Банаху, (1892—1945), који ју је и изрекао 1922. године
Теорема
[уреди | уреди извор]Нека је (X, d) непразан комплетан метрички простор. Нека је T : X → X контракција на X, то јест: постоји ненегативан реалан број q < 1, такав да
за свако x, y из X. Тада пресликавање T има једну и само једну непокретну тачку x* у X (ово значи да Tx* = x*). Штавише, та непокретна тачка може да се нађе на следећи начин: пође се од произвољног елемента x0 из X и дефинише се итеративни низ, као xn = Txn-1 за n = 1, 2, 3, ... овај низ конвергира, и лимес му је управо x*. Следећа неједнакост описује брзину конвергенције:
- .
Еквивалентно,
и
- .
Најмања вредност q се понекад назива Липшицовом константом.
Ваља уочити да захтев d(Tx, Ty) < d(x, y) за све различите x и y у општем случају није довољан да осигура постојање непокретне тачке, као што се види из пресликавања T : [1,∞) → [1,∞) са T(x) = x + 1/x, које нема непокретну тачку. Међутим, ако је простор X компактан, онда и ова слабија претпоставка имплицира све исказе теореме.
Када се теорема користи у пракси, обично је најтежи део да се дефинише X на такав начин да T заиста слика из X у X, то јест да је Tx увек елемент из X.
Доказ
[уреди | уреди извор]Узмимо било које . За свако , дефинишемо . Тврдимо да за свако , важи следеће:
- .
Да бисмо ово показали, користићемо индукцију. Горњи исказ је тачан за случај , за
- .
Претпоставимо да горње тврђење важи за неко . Тада имамо
.
По индукцији, горње тврђење важи за свако .
Нека је . Како је , можемо да нађемо велико тако да
- .
Користећи горње тврђење, за свако , где је , имамо
.
Неједнакост у првој линији следи из узастопне примене неједнакости троугла; ред у четвртој линији је геометријски ред са и стога конвергира. Горе се види да је Кошијев низ у и стога конвергира по комплетности. Значи, нека је . Уводимо два тврђења: (1) је непокретна тачка за . То јест, ; (2) је једина непокретна тачка за у .
Да би се видело (1), уочавамо да за свако ,
- .
Како је за , теорема о два полицајца показује да . Ово показује да када . Међутим када , и лимеси су јединствени; стога мора да важи .
Да би се показало (2), претпоставимо да такође задовољава једнакост . Тада
- .
Ако се сетимо да , горњи исказ имплицира да , што показује да , одакле по позитивној дефинитности следи и доказ је комплетан.
Примене
[уреди | уреди извор]Стандардна примена је доказ Пикард-Линделефове теореме о постојању и јединствености решења одређених ординарних диференцијалних једначина. Тражено решење диференцијалне једначине се изрази као непокретна тачка погодног интегралског оператора који трансформише непокретне функције у непокретне функције. Банахова теорема о непокретној тачки се затим користи да покаже да овај оператор има јединствену непокретну тачку.
Обратна тврђења
[уреди | уреди извор]Постоји неколико обратних тврђења за Банахов принцип контракције. Следи један који је дао Чеслав Бесага (Czesław Bessaga):
Нека је пресликавање апстрактног скупа, такво да свака итерирана функција f n има јединствену непокретну тачку. Нека је q реалан број, 0 < q < 1. Онда постоји комплетан метрички простор на X, такав да је f контрактивна, и q је контракциона константа.
Литература
[уреди | уреди извор]- Vasile I. Istratescu (1981). Fixed Point Theory, An Introduction. ISBN 978-90-277-1224-0., D.Reidel, the Netherlands. See chapter 7.
- Andrzej Granas and James Dugundji (2003). Fixed Point Theory. New York: Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-00173-9.
- Kirk, William A.; Khamsi, Mohamed A. (2001). An Introduction to Metric Spaces and Fixed Point Theory. John Wiley, New York. ISBN 978-0-471-41825-2.
- William A. Kirk and Brailey Sims (2001). Handbook of Metric Fixed Point Theory. London: Kluwer Academic. ISBN 978-0-7923-7073-4.
Овај чланак је делом заснован на чланку који се може наћи на страници Planet Math и представља отворен садржај.