Банахова теорема о непокретној тачки

Из Википедије, слободне енциклопедије

Банахова теорема о непокретној тачки (такође позната као теорема о контракционом пресликавању или принцип контракционог пресликавања) је важан алат у теорији метричких простора; она гарантује постојање и јединственост непокретних тачака одређених пресликавања из неког метричког простора у самог себе, и даје конструктивни метод за проналажење тих непокретних тачака. Теорема је добила име по Стефану Банаху, (1892—1945), који ју је и изрекао 1922. године

Теорема[уреди]

Нека је (X, d) непразан комплетан метрички простор. Нека је T : XX контракција на X, то јест: постоји ненегативан реалан број q < 1, такав да

за свако x, y из X. Тада пресликавање T има једну и само једну непокретну тачку x* у X (ово значи да Tx* = x*). Штавише, та непокретна тачка може да се нађе на следећи начин: пође се од произвољног елемента x0 из X и дефинише се итеративни низ, као xn = Txn-1 за n = 1, 2, 3, ... овај низ конвергира, и лимес му је управо x*. Следећа неједнакост описује брзину конвергенције:

.

Еквивалентно,

и

.

Најмања вредност q се понекад назива Липшицовом константом.

Ваља уочити да захтев d(Tx, Ty) < d(x, y) за све различите x и y у општем случају није довољан да осигура постојање непокретне тачке, као што се види из пресликавања T : [1,∞) → [1,∞) са T(x) = x + 1/x, које нема непокретну тачку. Међутим, ако је простор X компактан, онда и ова слабија претпоставка имплицира све исказе теореме.

Када се теорема користи у пракси, обично је најтежи део да се дефинише X на такав начин да T заиста слика из X у X, то јест да је Tx увек елемент из X.

Доказ[уреди]

Узмимо било које . За свако , дефинишемо . Тврдимо да за свако , важи следеће:

.

Да бисмо ово показали, користићемо индукцију. Горњи исказ је тачан за случај , за

.

Претпоставимо да горње тврђење важи за неко . Тада имамо

.

По индукцији, горње тврђење важи за свако .

Нека је . Како је , можемо да нађемо велико тако да

.

Користећи горње тврђење, за свако , где је , имамо

.

Неједнакост у првој линији следи из узастопне примене неједнакости троугла; ред у четвртој линији је геометријски ред са и стога конвергира. Горе се види да је Кошијев низ у и стога конвергира по комплетности. Значи, нека је . Уводимо два тврђења: (1) је непокретна тачка за . То јест, ; (2) је једина непокретна тачка за у .

Да би се видело (1), уочавамо да за свако ,

.

Како је за , теорема о два полицајца показује да . Ово показује да када . Међутим када , и лимеси су јединствени; стога мора да важи .

Да би се показало (2), претпоставимо да такође задовољава једнакост . Тада

.

Ако се сетимо да , горњи исказ имплицира да , што показује да , одакле по позитивној дефинитности следи и доказ је комплетан.

Примене[уреди]

Стандардна примена је доказ Пикард-Линделефове теореме о постојању и јединствености решења одређених ординарних диференцијалних једначина. Тражено решење диференцијалне једначине се изрази као непокретна тачка погодног интегралског оператора који трансформише непокретне функције у непокретне функције. Банахова теорема о непокретној тачки се затим користи да покаже да овај оператор има јединствену непокретну тачку.

Обратна тврђења[уреди]

Постоји неколико обратних тврђења за Банахов принцип контракције. Следи један који је дао Чеслав Бесага (Czesław Bessaga):

Нека је пресликавање апстрактног скупа, такво да свака итерирана функција f n има јединствену непокретну тачку. Нека је q реалан број, 0 < q < 1. Онда постоји комплетан метрички простор на X, такав да је f контрактивна, и q је контракциона константа.

Литература[уреди]

  • Vasile I. Istratescu, Fixed Point Theory, An Introduction, D.Reidel, the Netherlands (1981). ISBN 90-277-1224-7 See chapter 7.
  • Andrzej Granas and James Dugundji, Fixed Point Theory (2003) Springer-Verlag, New York, ISBN 0-387-00173-5.
  • Kirk, William A.; Khamsi, Mohamed A. (2001). An Introduction to Metric Spaces and Fixed Point Theory. John Wiley, New York. . ISBN 978-0-471-41825-2. 
  • William A. Kirk and Brailey Sims, Handbook of Metric Fixed Point Theory (2001), Kluwer Academic, London ISBN 0-7923-7073-2.

Овај чланак је делом заснован на чланку који се може наћи на страници Planet Math и представља отворен садржај.