Хомолошка алгебра

Хомолошка алгебра је грана математике која изучава хомологију у општем алгебарском окружењу.^[1]^[2]^[3]^[4] То је релативно млада дисциплина, чије порекло се може пратити до истраживања комбинаторне топологије^[5]^[6] (претече алгебарске топологије) и апстрактне алгебре (теорије модула и линеарних релација) с краја 19. века, углавном заслугом Анрија Поенкареа и Дејвида Хилберта.

Развој хомолошке алгебре био је уско испреплетен с настанком теорије категорија. Уопште, хомолошка алгебра је проучавање хомолошких функтора и замршених алгебричних структура које они укључују. Један прилично користан и свеприсутан концепт у математици су ланчани комплекси, који се могу проучавати путем њихове хомологије и кохомологије.^[7]^[8]^[9] Хомолошка алгебра пружа средства за издвајање информација садржаних у овим комплексима и њихово представљање у облику хомолошких инваријанати прстенова, модула, тополошких простора и других 'опипљивих' математичких објеката. Моћан алат за ово пружају спектралне секвенце.

Хомолошка алгебра је од самог настанка играла огромну улогу у алгебарској топологији. Њен утицај се постепено проширио и тренутно укључује комутативну алгебру, алгебарску геометрију, теорију алгебарских бројева, теорију репрезентације, математичку физику, операторске алгебре, комплексну анализу и теорију парцијалних диференцијалних једначина. К-теорија је независна дисциплина која се заснива на методама хомолошке алгебре, као и некомутативна геометрија Алена Кона.

Историја хомолошке алгебре

Проучавање хомолошке алгебре је започето у њеном најосновнијем облику током 1800-их као гране топологије. Тек је током 1940-их година она постала самостални предмет проучавања, са изучавањем тема као што су: еxт функтор и тор функтор, између осталог.^[10]

Ланчани комплекси и хомологија

Појам комплекса ланаца је централан у хомолошкој алгебри. Апстрактни ланчани комплекс је низ $(C_{\bullet },d_{\bullet })$ абелових група^[11]^[12] и група хомоморфизама,^[13]^[14] са својством да је композиција било које две узастопне мапе нула:

C_{\bullet }:\cdots \longrightarrow C_{n+1}{\stackrel {d_{n+1}}{\longrightarrow }}C_{n}{\stackrel {d_{n}}{\longrightarrow }}C_{n-1}{\stackrel {d_{n-1}}{\longrightarrow }}\cdots ,\quad d_{n}\circ d_{n+1}=0.

Елементи C_н се називају н-ланцима, а хомоморфизми д_н се називају граничним мапама или диференцијалима. Ланчане групе C_н могу бити обдарене додатном структуром; на пример, то могу бити векторски простори или модули преко фиксног прстена Р. Диференцијали морају да сачувају додатну структуру ако она постоји; на пример, то морају бити линеарне мапе или хомоморфизми Р-модула. Ради лакшег означавања, пажњу треба усредсредити на абелове групе (тачније, на категорију Аб абелових група); прослављена теорема Барија Мичела имплицира да ће се резултати генерализовати на било коју абелову категорију. Сваки ланчани комплекс дефинише још два низа абелових група, циклусе З_н = Кер д_н и границе Б_н = Им д_н+1, где Кер д и Им д означавају језгро и слику од д.^[15]^[16] Пошто је композиција две узастопне граничне мапе нула, ове групе су уграђене једна у другу као

B_{n}\subseteq Z_{n}\subseteq C_{n}.

Подгрупе абелових група су аутоматски нормалне; стога се може дефинисати н-та хомолошка групу Х_н(C) као факторска група н-циклуса по н-границама,

H_{n}(C)=Z_{n}/B_{n}=\operatorname {Ker} \,d_{n}/\operatorname {Im} \,d_{n+1}.

Комплекс ланца назива се ацикличним или тачан низ ако су све његове хомолошке групе нула.

Референце

^ Цартан, Хенри Паул; Еиленберг, Самуел (1956). Хомологицал Алгебра. Принцетон матхематицал сериес. 19. Принцетон Университy Пресс. ИСБН 9780674079779. ОЦЛЦ 529171.
^ Еиленберг, Самуел; Мооре, Ј.C. (1965). Фоундатионс оф релативе хомологицал алгебра. Мемоирс оф тхе Америцан Матхематицал Социетy нумбер. 55. Америцан Матхематицал Социетy. ИСБН 9780821812556. ОЦЛЦ 1361982.
^ Пелликка, M; С. Сууриниеми; L. Кеттунен; C. Геузаине (2013). „Хомологy анд Цохомологy Цомпутатион ин Фините Елемент Моделинг” (ПДФ). СИАМ Ј. Сци. Цомпут. 35 (5): Б1195—Б1214. ЦитеСеерX 10.1.1.716.3210 . дои:10.1137/130906556.
^ Арнолд, Доуглас Н.; Рицхард С. Фалк; Рагнар Wинтхер (16. 5. 2006). „Фините елемент еxтериор цалцулус, хомологицал тецхниqуес, анд апплицатионс”. Ацта Нумерица. 15: 1—155. Бибцоде:2006АцНум..15....1А. С2ЦИД 122763537. дои:10.1017/С0962492906210018.
^ Цхен, Ли; Ронг, Yонгwу (2010). „Дигитал топологицал метход фор цомпутинг генус анд тхе Бетти нумберс”. Топологy анд Итс Апплицатионс. 157 (12): 1931—1936. МР 2646425. дои:10.1016/ј.топол.2010.04.006 .
^ Цхен, Ли; Ронг, Yонгwу. Линеар Тиме Рецогнитион Алгоритхмс фор Топологицал Инвариантс ин 3Д. 19тх Интернатионал Цонференце он Паттерн Рецогнитион (ИЦПР 2008). стр. 3254—7. ЦитеСеерX 10.1.1.312.6573 . ИСБН 978-1-4244-2174-9. арXив:0804.1982 . дои:10.1109/ИЦПР.2008.4761192.
^ Диеудоннé, Јеан (1989), Хисторy оф Алгебраиц анд Дифферентиал Топологy, Биркхäусер, ИСБН 0-8176-3388-X, МР 0995842
^ Долд, Албрецхт (1972), Лецтурес он Алгебраиц Топологy, Спрингер-Верлаг, ИСБН 978-3-540-58660-9, МР 0415602
^ Еиленберг, Самуел; Стеенрод, Норман (1952), Фоундатионс оф Алгебраиц Топологy, Принцетон Университy Пресс, ИСБН 9780691627236, МР 0050886
^ Wеибел, Цхарлес А. (1999). „Хисторy оф Хомологицал Алгебра”. Хисторy оф Топологy. стр. 797–836. ИСБН 9780444823755. дои:10.1016/б978-044482375-5/50029-8.
^ Фуцхс, Лáсзлó (1973). Инфините Абелиан Гроупс. Пуре анд Апплиед Матхематицс. 36-II. Ацадемиц Пресс. МР 0349869.
^ Гриффитх, Пхиллип А. (1970). Инфините Абелиан гроуп тхеорy. Цхицаго Лецтурес ин Матхематицс. Университy оф Цхицаго Пресс. ИСБН 0-226-30870-7.
^ Роwланд, Тодд. „Гроуп Хомоморпхисм”. МатхWорлд.
^ Думмит, D. С.; Фооте, Р. (2004). Абстрацт Алгебра (3рд изд.). Wилеy. стр. 71—72. ИСБН 978-0-471-43334-7.
^ Сзмиелеw, Wанда (1955). „Елементарy Пропертиес оф Абелиан Гроупс” (ПДФ). Фундамента Матхематицае. 41 (2): 203—271. МР 0072131. Збл 0248.02049. дои:10.4064/фм-41-2-203-271 .
^ Робинсон, Абрахам; Закон, Елиас (1960). „Елементарy Пропертиес оф Ордеред Абелиан Гроупс” (ПДФ). Трансацтионс оф тхе Америцан Матхематицал Социетy. 96 (2): 222—236. ЈСТОР 1993461. дои:10.2307/1993461 . Архивирано (ПДФ) из оригинала 2022-10-09. г.

Литература

Хенри Цартан, Самуел Еиленберг, Хомологицал алгебра. Wитх ан аппендиx бy Давид А. Буцхсбаум. Репринт оф тхе 1956 оригинал. Принцетон Ландмаркс ин Матхематицс. Принцетон Университy Пресс, Принцетон, Њ, 1999. xви+390 пп. ISBN 0-691-04991-2
Гротхендиецк, Алеxандер (1957). „Сур qуелqуес поинтс д'алгèбре хомологиqуе, И”. Тохоку Матхематицал Јоурнал. 9 (2): 119—221. дои:10.2748/тмј/1178244839.
Саундерс Мац Лане, Хомологy. Репринт оф тхе 1975 едитион. Цлассицс ин Матхематицс. Спрингер-Верлаг, Берлин, 1995. x+422 пп. ISBN 3-540-58662-8
Петер Хилтон; Стаммбацх, У. А цоурсе ин хомологицал алгебра. Сецонд едитион. Градуате Теxтс ин Матхематицс, 4. Спрингер-Верлаг, Неw Yорк, 1997. xии+364 пп. ISBN 0-387-94823-6
Гелфанд, Сергеи I.; Yури Манин, Метходс оф хомологицал алгебра. Транслатед фром Руссиан 1988 едитион. Сецонд едитион. Спрингер Монограпхс ин Матхематицс. Спрингер-Верлаг, Берлин, 2003. xx+372 пп. ISBN 3-540-43583-2
Гелфанд, Сергеи I.; Yури Манин, Хомологицал алгебра. Транслатед фром тхе 1989 Руссиан оригинал бy тхе аутхорс. Репринт оф тхе оригинал Енглисх едитион фром тхе сериес Енцyцлопаедиа оф Матхематицал Сциенцес (Алгебра, V, Енцyцлопаедиа Матх. Сци., 38, Спрингер, Берлин, 1994). Спрингер-Верлаг, Берлин, 1999. ив+222 пп. ISBN 3-540-65378-3
Серге Ланг: Алгебра. 3рд едитион, Спрингер (2002) ISBN 978-0-387-95385-4, пп. 157–159 (онлине цопy, стр. 157, на сајту Гугл књиге)
M. Ф. Атиyах; I. Г. Мацдоналд: Интродуцтион то Цоммутативе Алгебра. Оxфорд 1969, Аддисон–Wеслеy Публисхинг Цомпанy, Инц. ISBN 0-201-00361-9.
Гоерсс, П. Г.; Јардине, Ј. Ф. (1999), Симплициал Хомотопy Тхеорy, Прогресс ин Матхематицс, 174, Басел, Бостон, Берлин: Биркхäусер, ИСБН 978-3-7643-6064-1
Ховеy, Марк (1999), Модел цатегориес, Провиденце, Р.I.: Америцан Матхематицал Социетy, ИСБН 978-0-8218-1359-1
Qуиллен, Даниел (1967), Хомотопицал Алгебра, Берлин, Неw Yорк: Спрингер-Верлаг, ИСБН 978-0-387-03914-5
Р.L. Таyлор, Цоверинг гроупс оф нон цоннецтед топологицал гроупс, Процеедингс оф тхе Америцан Матхематицал Социетy, вол. 5 (1954), 753–768.
Р. Броwн анд О. Муцук, Цоверинг гроупс оф нон-цоннецтед топологицал гроупс ревиситед, Матхематицал Процеедингс оф тхе Цамбридге Пхилосопхицал Социетy, вол. 115 (1994), 97–110.
Р. Броwн анд Т. Портер, Он тхе Сцхреиер тхеорy оф нон-абелиан еxтенсионс: генералисатионс анд цомпутатионс, Процеедингс оф тхе Роyал Ирисх Ацадемy, вол. 96А (1996), 213–227.
Г. Јанелидзе анд Г. M. Келлy, Централ еxтенсионс ин Малт'сев вариетиес, Тхеорy анд Апплицатионс оф Цатегориес, вол. 7 (2000), 219–226.
П. Ј. Моранди, Гроуп Еxтенсионс анд Х³. Фром хис цоллецтион оф схорт матхематицал нотес.
Буцхсбаум, Давид А. (1955), „Еxацт цатегориес анд дуалитy”, Трансацтионс оф тхе Америцан Матхематицал Социетy, 80 (1): 1—34, ИССН 0002-9947, ЈСТОР 1993003, МР 0074407, дои:10.1090/С0002-9947-1955-0074407-6
Фреyд, Петер (1964), Абелиан Цатегориес, Неw Yорк: Харпер анд Роw
Митцхелл, Баррy (1965), Тхеорy оф Цатегориес, Бостон, МА: Ацадемиц Пресс
Попесцу, Ницолае (1973), Абелиан цатегориес wитх апплицатионс то рингс анд модулес, Бостон, МА: Ацадемиц Пресс
Ботт, Раоул; Ту, Лоринг W. (1982), Дифферентиал Формс ин Алгебраиц Топологy, Берлин, Неw Yорк: Спрингер-Верлаг, ИСБН 978-0-387-90613-3
Хатцхер, Аллен (2002). Алгебраиц Топологy. Цамбридге: Цамбридге Университy Пресс. ИСБН 0-521-79540-0.
Цоx, Давид (2004). Галоис Тхеорy. Wилеy-Интерсциенце. ИСБН 9781118031339. МР 2119052.
Јацобсон, Натхан (2009). Басиц Алгебра I (2нд изд.). Довер Публицатионс. ИСБН 978-0-486-47189-1.
Росе, Јохн С. (2012). А Цоурсе он Гроуп Тхеорy. Довер Публицатионс. ИСБН 978-0-486-68194-8. Унабридгед анд уналтеред републицатион оф а wорк фирст публисхед бy тхе Цамбридге Университy Пресс, Цамбридге, Енгланд, ин 1978.
Хартсхорне, Робин (1977), Алгебраиц Геометрy, Градуате Теxтс ин Матхематицс, 52, Неw Yорк, Хеиделберг: Спрингер-Верлаг, ИСБН 0-387-90244-9, МР 0463157
Маy, Ј. Петер (1999), А Цонцисе Цоурсе ин Алгебраиц Топологy (ПДФ), Университy оф Цхицаго Пресс, ИСБН 0-226-51182-0, МР 1702278
Сwитзер, Роберт (1975), Алгебраиц Топологy — Хомологy анд Хомотопy, Спрингер-Верлаг, ИСБН 3-540-42750-3, МР 0385836
Тхом, Ренé (1954), „Qуелqуес проприéтéс глобалес дес вариéтéс диффéрентиаблес”, Цомментарии Матхематици Хелветици, 28: 17—86, МР 0061823, С2ЦИД 120243638, дои:10.1007/БФ02566923 ^{[мртва веза]}

Спољашње везе

Wеисстеин, Ериц W. „Снаке Лемма”. МатхWорлд.
Snake Lemma Архивирано на сајту Wayback Machine (25. септембар 2012) at PlanetMath
Homological conjectures, old and new, Melvin Hochster, Illinois Journal of Mathematics Volume 51, Number 1 (2007), 151-169.
„On the direct summand conjecture and its derived variant”. arXiv:pdf/1608.08882.pdf  Проверите вредност параметра |arxiv= (помоћ). by Bhargav Bhatt.

[1] Цартан, Хенри Паул; Еиленберг, Самуел (1956). Хомологицал Алгебра. Принцетон матхематицал сериес. 19. Принцетон Университy Пресс. ИСБН 9780674079779. ОЦЛЦ 529171.

[2] Еиленберг, Самуел; Мооре, Ј.C. (1965). Фоундатионс оф релативе хомологицал алгебра. Мемоирс оф тхе Америцан Матхематицал Социетy нумбер. 55. Америцан Матхематицал Социетy. ИСБН 9780821812556. ОЦЛЦ 1361982.

[Pellikka2013-3] Пелликка, M; С. Сууриниеми; L. Кеттунен; C. Геузаине (2013). „Хомологy анд Цохомологy Цомпутатион ин Фините Елемент Моделинг” (ПДФ). СИАМ Ј. Сци. Цомпут. 35 (5): Б1195—Б1214. ЦитеСеерX 10.1.1.716.3210 . дои:10.1137/130906556.

[Arnold2006-4] Арнолд, Доуглас Н.; Рицхард С. Фалк; Рагнар Wинтхер (16. 5. 2006). „Фините елемент еxтериор цалцулус, хомологицал тецхниqуес, анд апплицатионс”. Ацта Нумерица. 15: 1—155. Бибцоде:2006АцНум..15....1А. С2ЦИД 122763537. дои:10.1017/С0962492906210018.

[5] Цхен, Ли; Ронг, Yонгwу (2010). „Дигитал топологицал метход фор цомпутинг генус анд тхе Бетти нумберс”. Топологy анд Итс Апплицатионс. 157 (12): 1931—1936. МР 2646425. дои:10.1016/ј.топол.2010.04.006 .

[6] Цхен, Ли; Ронг, Yонгwу. Линеар Тиме Рецогнитион Алгоритхмс фор Топологицал Инвариантс ин 3Д. 19тх Интернатионал Цонференце он Паттерн Рецогнитион (ИЦПР 2008). стр. 3254—7. ЦитеСеерX 10.1.1.312.6573 . ИСБН 978-1-4244-2174-9. арXив:0804.1982 . дои:10.1109/ИЦПР.2008.4761192.

[7] Диеудоннé, Јеан (1989), Хисторy оф Алгебраиц анд Дифферентиал Топологy, Биркхäусер, ИСБН 0-8176-3388-X, МР 0995842

[8] Долд, Албрецхт (1972), Лецтурес он Алгебраиц Топологy, Спрингер-Верлаг, ИСБН 978-3-540-58660-9, МР 0415602

[9] Еиленберг, Самуел; Стеенрод, Норман (1952), Фоундатионс оф Алгебраиц Топологy, Принцетон Университy Пресс, ИСБН 9780691627236, МР 0050886

[Weber-10] Wеибел, Цхарлес А. (1999). „Хисторy оф Хомологицал Алгебра”. Хисторy оф Топологy. стр. 797–836. ИСБН 9780444823755. дои:10.1016/б978-044482375-5/50029-8.

[11] Фуцхс, Лáсзлó (1973). Инфините Абелиан Гроупс. Пуре анд Апплиед Матхематицс. 36-II. Ацадемиц Пресс. МР 0349869.

[12] Гриффитх, Пхиллип А. (1970). Инфините Абелиан гроуп тхеорy. Цхицаго Лецтурес ин Матхематицс. Университy оф Цхицаго Пресс. ИСБН 0-226-30870-7.

[13] Роwланд, Тодд. „Гроуп Хомоморпхисм”. МатхWорлд.

[14] Думмит, D. С.; Фооте, Р. (2004). Абстрацт Алгебра (3рд изд.). Wилеy. стр. 71—72. ИСБН 978-0-471-43334-7.

[15] Сзмиелеw, Wанда (1955). „Елементарy Пропертиес оф Абелиан Гроупс” (ПДФ). Фундамента Матхематицае. 41 (2): 203—271. МР 0072131. Збл 0248.02049. дои:10.4064/фм-41-2-203-271 .

[16] Робинсон, Абрахам; Закон, Елиас (1960). „Елементарy Пропертиес оф Ордеред Абелиан Гроупс” (ПДФ). Трансацтионс оф тхе Америцан Матхематицал Социетy. 96 (2): 222—236. ЈСТОР 1993461. дои:10.2307/1993461 . Архивирано (ПДФ) из оригинала 2022-10-09. г.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]