Табела знакова
У теорији група, грани апстрактне алгебре, табела знакова је дводимензионална табела чији редови одговарају несводљивим репрезентацијама, а чије колоне одговарају класама коњугације групних елемената. Уноси се састоје од знакова, трагова матрица које представљају групне елементе класе колоне у групном приказу датог реда. У хемији, кристалографији и спектроскопији, табеле знакова тачкастих група се користе за класификацију нпр. молекуларне вибрације према њиховој симетрији, и да предвиди да ли је прелаз између два стања забрањен из разлога симетрије. Многи уџбеници на универзитетском нивоу о физичкој хемији, квантној хемији, спектроскопији и неорганској хемији посвећују по једно поглавље употреби таблица знакова групе симетрије.[1][2][3][4][5][6]
Дефиниција и пример[уреди | уреди извор]
Несводљиви комплексни знаци коначне групе формирају табелу знакова која кодира много корисних информација о групи Г у компактном облику. Сваки ред је означен несводљивим знаком, а уноси у реду су вредности тог знака на било ком представнику одговарајуће класе коњугације Г (јер су знакови класе функција). Колоне су означене (представницима) класа коњугације Г. Уобичајено је да се први ред означи знаком тривијалне репрезентације, што је тривијално дејство Г на једнодимензионални векторски простор помоћу за све . Сваки унос у првом реду је стога 1. Слично, уобичајено је да се прва колона означи по идентитету. Уноси прве колоне су вредности несводљивих знакова на идентитету, степени несводљивих знакова. Знакови степена 1 су познати као линеарни знакови.
Ово је табела знакова C3 = <u>, цикличне групе са три елемента и генератора у:
| (1) | (у) | (у2) | |
| 1 | 1 | 1 | 1 |
| χ1 | 1 | ω | ω2 |
| χ2 | 1 | ω2 | ω |
где је ω примитивни трећи корен јединице. Табела знакова за генералне цикличне групе је (скаларни умножак) ДФТ матрице.
Други пример је табела знакова за :
| (1) | (12) | (123) | |
| χтрив | 1 | 1 | 1 |
| χсгн | 1 | −1 | 1 |
| χстанд | 2 | 0 | −1 |
где (12) представља класу коњугације која се састоји од (12), (13), (23), док (123) представља класу коњугације која се састоји од (123), (132). Да би се сазнало више о табели знакова симетричних група, може се погледати [1].
Први ред табеле знакова увек се састоји од 1с, и одговара тривијалној репрезентацији (1-димензионални приказ који се састоји од 1×1 матрица које садрже унос 1). Даље, табела знакова је увек квадратна, јер (1) несводиви знакови су по пару ортогонални, и (2) ниједна друга нетривијална функција класе није ортогонална сваком знаку. (Класа функције је она која је константна на класама коњугације.) Ово је повезано са важном чињеницом да су несводљиве репрезентације коначне групе Г у бијекцији са њеним класама коњугације. Ова бијекција такође следи кад се показе да збирови класа чине основу за центар групне алгебре од Г, која има димензију једнаку броју несводљивих репрезентација Г.
Референце[уреди | уреди извор]
- ^ Qуантум Цхемистрy, 3рд ед. Јохн П. Лоwе, Кирк Петерсон ISBN 0-12-457551-X
- ^ Пхyсицал Цхемистрy: А Молецулар Аппроацх бy Доналд А. МцQуаррие, Јохн D. Симон ISBN 0-935702-99-7
- ^ Тхе цхемицал бонд, 2нд ед. Ј.Н. Муррелл, С.Ф.А. Кеттле, Ј.M. Теддер ISBN 0-471-90760-X
- ^ Пхyсицал Цхемистрy, 8тх ед. П.W. Аткинс анд Ј. де Паула, W.Х. Фрееман, 2006 ISBN 0-7167-8759-8, цхап.12
- ^ Молецулар Сyмметрy анд Спецтросцопy, 2нд ед. Пхилип Р. Бункер анд Пер Јенсен, НРЦ Ресеарцх Пресс, Оттаwа, 1998.
- ^ Г. L. Миесслер анд D. А. Тарр Инорганиц Цхемистрy, 2нд ед. Пеарсон, Прентице Халл, 1998 ISBN 0-13-841891-8, chap.4.