Закривљеност

Из Википедије, слободне енциклопедије
Иди на навигацију Иди на претрагу
Приказ закривљености простор-времена.

У математици, закривљеност се односи на бројне, у малој мери повезане концепте из различитих области геометрије. Интуитивно, закривљеност је мера одступања геометријског објекта од равни, или праве у случају линије, али се то дефинише на различите начине у зависности од контекста.

Свака непрекидна крива може се апроксимирати кругом одређеног полупречника у околини дате тачке. Претпоставимо да је крива дата у равни. Полупречник круга који је додирује у тачки (x, y) и има исти први и други извод као и дата крива у тој тачки представља закривљеност криве. Кренимо од једначине круга са центром у тачки (p, q)

, (1)

где је r полупречник круга.

Диференцирањем ове једначине добијамо

, (2)

а још једним диференцирањем

. (3)

Из (3) добијамо да је

, (4)

а враћањем овог резултата у (2) следи

, (5).

Уврштавањем (4) и (5) у (1), добијамо да је полупречник (кривине) круга дат са:

, (6)

уз напомену да је r увек позитиван.

За све тачке на кругу, па тако и тачке дела криве коју круг апроксимира (додирна тачка и бесконачно мала околина) веза полупречника круга (закривљености) и првог и другог извода криве у тој тачки дата је једначином (6).

Уколико померимо координатни почетак у додирну тачку круга и криве и још поставимо x осу да се поклопи са тангентом криве у тој тачки, први извод постаје нула и једначина полупречника кривине (закривљености криве) се своди на:

.

Из једначина (4) и (5) могу се за сваку тачку криве одредити координате центра круга закривљености p и q. Те тачке дефинишу нову криву која се назива центроида.

Литература[уреди]

Спољашње везе[уреди]