Jednakostranični trougao

Jednakostranični trougao, upisani i opisani krug

Jednakostranični trougao (u starijoj literaturi je moguće naći i izraze jednakostrani, ravnostrani) je trougao čije su sve stranice jednake

$a=b=c\,$ odnosno $AB=BC=CA\,$

takođe, svi uglovi su jednaki

$\alpha =\beta =\gamma ={\frac {\pi }{3}}=60^{\circ }$.

Može se upisati i opisati krug. Poluprečnik opisanog kruga se označava sa R (velikim latiničnim slovom r), a poluprečnik upisanog sa r (malim latiničnim slovom r).

Jednakostraničan trougao se može naći u mnogim geometrijskim konstrukcijama. Pravilan šestougao se sastoji od šest jednakostraničnih trouglova. Tri od pet pravilnih poliedara (Platonova tela) sadrže jednakostranične trouglove kao stranice.

Ako se jednakostraničan trougao može smatrati pravilnom geometrijskom slikom sa najmanjim brojem temena odnosno stranica u ravni tada se pravilan tetraedar, koji se sastoji od četiri jednakostranična trougla, može smatrati analogonom u tri dimenzije, jer je on pravilno geometrijsko telo sa najmanjim brojem temena, ivica odnosno stranica.

Svojstva

Presek težišnih duži (T), presek visina (H), simetrala stranica (centar opisane kružnice O), simetrala uglova (centar upisane kružnice O) se seku u jednoj tački.

Presek težišta, ortocentra, simetrale ugla simetrale stranice

Težišne duži su međusobno jednake.

$t_{a}=t_{b}=t_{c}=t\,$

Visine su međusobno jednake.

$h_{a}=h_{b}=h_{c}=h\,$

Težišne duži su podudarne visinama. Takođe, težišne duži su podudarne simetralama uglova i stranica.

$h\cong t\,$

Težišne duži se seku u razmeri 2:1, odnosno tačka u kojoj se seku sve duži deli duž u odnosu 2:1.

Površina

Razmera težišnih duži

Površina se može izračunati standardnom formulom:$P={\frac {a\cdot h}{2}}$ ali postoje i druge formule koja važe za izračunavanje površine jednakostraničnog trougla:

$P={\frac {a^{2}\cdot {\sqrt[{}]{3}}}{4}}={\frac {h^{2}\cdot {\sqrt[{}]{3}}}{3}}$

Visina

Visinu je moguće izračunati pomoću jedne od dve formule:

Prva je uobičajena i povezuje se sa dužinom stranice:

$h={\frac {a\cdot {\sqrt[{}]{3}}}{2}}$,

a druga je izvedena iz formule za površinu:

$P={\frac {h^{2}\cdot {\sqrt[{}]{3}}}{3}}$ ⇒ $h={\sqrt[{}]{\frac {3P}{\sqrt[{}]{3}}}}$ kada se racionališe i skrati dobija se $h={\sqrt[{}]{\frac {3P\,{\sqrt[{}]{3}}}{3}}}={\sqrt[{}]{{P}\,{\sqrt[{}]{3}}}}$.

Zanimljivosti

Arheološko nalazište Lepenski Vir u Srbiji, iz doba neolita, sadrži ostatke staništa koja u svojoj osnovi imaju jednakostranični trougao.

Davidova zvezda, simbol jevrejskog naroda, se sastoji od dva obrnuta jednakostranična trougla. Uz ove trouglove se povezuju i izvesna religiozna značenja.

Mistični simbol Pitagorejaca, tetraktis, je bio oblika jednakostraničnog trougla.

Vidi još

• Trougao
• Jednakokraki trougao
• Pravougli trougao

Spoljašnje veze

• Jednakostranični trougao na mathworld.wolfram.com (jezik: engleski)