Njutn-Kouts formule

U numeričkoj analizi, Njutn-Kouts formule su klasa postupaka iz numeričke integracije. Ime su dobile po Isaku Njutnu i matematičaru Rodžeru Kotsu.

Osnova Njutn-Kouts formula su Lagranžovi polinomi. Kada želimo da izračunamo određen integral neke date funkcije ($\int _{a}^{b}f(x)dx$), prvo aproksimiramo datu funkciju Lagranžovim polinomom pa posle izračunavamo integral tog polinoma umesto funkcije (pod pretpostavkom da smo dobili $n+1$ tačaka te funkcije).

Znači:

$f(x)\approx P(x)=\sum _{i=0}^{n}f(x_{i})l_{i}^{n}(x),x_{i}\in [a,b]$

$\int _{a}^{b}f(x)dx\approx \int _{a}^{b}P(x)dx=\int _{a}^{b}\sum _{i=0}^{n}f(x_{i})l_{i}^{n}(x)dx$

$f(x_{i})$ su tačke date funkcije za jednako raspoređenih $n+1$ apscisa $x_{i}$ u intervalu $[a,b]$.

f(x_i) možemo da smatramo konstatama, a zbog pravila sume pri integraciji možemo da „izvučemo“ sumu ispred integrala:

$\int _{a}^{b}f(x)dx\approx \sum _{i=0}^{n}f(x_{i})\underbrace {\int _{a}^{b}l_{i}^{n}(x)dx} _{c_{i}^{n}}$

$l_{i}(x)$ zavisi samo od tačaka ${x_{i},i=0,\dots ,n}$, ali ne i od funkcije $f(x)$. Naša aproksimacija postaje:

$\int _{a}^{b}f(x)dx\approx (b-a)\sum _{i=0}^{n}c_{i}^{n}f(x_{i})$

$c_{i}^{n}$ predstavljaju Kouts brojeve, $c_{i}^{n}={\frac {1}{b-a}}\int _{a}^{b}l_{i}^{n}(x)dx$, koji imaju osobine:

• $\sum _{i=0}^{n}c_{k}^{n}=1$
• $c_{i}^{n}=c_{n-i}^{n}$

Za mali broj tačaka, ove formule su dobile posebna imena ($f_{i}=f(x_{i})$ ):

$x_{i}=a+i\cdot h,i=0,\dots ,n$ za $n\geq 1$, $h={\frac {b-a}{n}}$, $n+1$ je broj tačaka;

$x_{0}={\frac {a+b}{2}}$ za $n=1$.

n	ime	Formula	Greška ($\xi \in [a,b]$)
1	trapezoidno pravilo	${\frac {h}{2}}(f_{0}+f_{1})$	$-{\frac {h^{3}}{12}}\,f^{(2)}(\xi )$
2	Simpsonovo pravilo	${\frac {h}{3}}(f_{0}+4f_{1}+f_{2})$	$-{\frac {h^{5}}{90}}\,f^{(4)}(\xi )$
3	Pravilo 3/8	${\frac {3\,h}{8}}(f_{0}+3f_{1}+3f_{2}+f_{3})$	$-{\frac {3\,h^{5}}{80}}\,f^{(4)}(\xi )$
4	Milneovo pravilo	${\frac {2\,h}{45}}(7f_{0}+32f_{1}+12f_{2}+32f_{3}+7f_{4})$	$-{\frac {8\,h^{7}}{945}}\,f^{(6)}(\xi )$

Za veliki broj tačaka u intervalu ($n\geq 5$) ovaj metod postaje neprimenljiv. Sa jedne strane zahteva mnogo tačaka, a sa druge nastupaju greške u računu; za $n=8$ i $n\geq 10$ dobićemo čak negativne težine.

Da bismo dobili precizan rezultat, razmak između tačaka h mora da bude prilično mali, što za veliki interval $[a,b]$ to neće biti slučaj. Jedno od mogućih rešenja je da interval podelimo na više manjih i onda da na svakom pojedinačno izvršimo numeričku integraciju.