Њутн-Коутс формуле

Из Википедије, слободне енциклопедије

У нумеричкој анализи, Њутн-Коутс формуле су класа поступака из нумеричке интеграције. Име су добиле по Исаку Њутну и математичару Роџеру Котсу.

Основа Њутн-Коутс формула су Лагранжови полиноми. Када желимо да израчунамо одређен интеграл неке дате функције (), прво апроксимирамо дату функцију Лагранжовим полиномом па после израчунавамо интеграл тог полинома уместо функције (под претпоставком да смо добили тачака те функције).

Значи:

су тачке дате функције за једнако распоређених апсциса у интервалу .

f(x_i) можемо да сматрамо констатама, а због правила суме при интеграцији можемо да „извучемо“ суму испред интеграла:

зависи само од тачака , али не и од функције . Наша апроксимација постаје:

представљају Коутс бројеве, , који имају особине:

За мали број тачака, ове формуле су добиле посебна имена ( ):

за , , је број тачака;
за .


n име Формула Грешка ()
1 трапезоидно правило
2 Симпсоново правило
3 Правило 3/8
4 Милнеово правило

За велики број тачака у интервалу () овај метод постаје неприменљив. Са једне стране захтева много тачака, а са друге наступају грешке у рачуну; за и добићемо чак негативне тежине.

Да бисмо добили прецизан резултат, размак између тачака h мора да буде прилично мали, што за велики интервал то неће бити случај. Једно од могућих решења је да интервал поделимо на више мањих и онда да на сваком појединачно извршимо нумеричку интеграцију.