Blizina

U topologiji i srodnim oblastima matematike, blizina predstavlja jedan od osnovnih pojmova topološkog prostora. Intuitivno se kaže da su dva skupa blizu ukoliko su proizvoljno udaljeni jedan od drugog. Ovaj koncept se može prirodno definisati u metričkom prostoru, gde je pojam udaljenosti između elemenata u prostoru precizno definisan, ali se može generalizovati na topološke prostore, gde ne postoji konkretan način za merenje udaljenosti.

Operator zatvaranja zatvara dati skup tako što ga mapira na zatvoren skup koji sadrži originalni skup i sve tačke koje su mu blizu. Koncept blizine je srodan graničnoj tački.

Definicija

U datom metričkom prostoru $(X,d)$ tačka $p$ je blizu skupu $A$ ako važi:

$d(p,A)=0$,

gde je udaljenost između tačke i skupa definisana kao

$d(p,A):=\inf _{a\in A}d(p,a)$.

Slično, skup $B$ je blizu skupu $A$ ako važi:

$d(B,A)=0$

gde je

$d(B,A):=\inf _{b\in B}d(b,A)$.

Osobine

• ako je tačka $p$ blizu skupu $A$ i skupu $B$, onda su $A$ i $B$ blizu. (obrnuto ne važi!)
• blizina tačke i skupa je održana neprekidnim funkcijama.
• blizina dva skupa je održana ravnomernim neprekidnostima.

Relacija blizine između tačke i skupa

Neka su $A$ i $B$ dva skupa i neka je $p$ tačka.

• ako je $p$ blizu $A$, onda je $A\neq \emptyset$
• ako je $p$ blizu $A$ i $B\supset A$, onda je $p$ blizu $B$
• ako je $p$ blizu $A\cup B$, onda je $p$ ili blizu $A$ ili $p$ blizu $B$

Relacija blizine između dva skupa

Neka su $A$,$B$ i $C$ skupovi.

• ako su $A$ i $B$ blizu, onda $A\neq \emptyset$ i $B\neq \emptyset$
• ako su $A$ i $B$ blizu, onda su i $B$ i $A$ blizu
• ako su $A$ i $B$ blizu i $B\subset C$ onda su i $A$ i $C$ blizu
• ako su $A$ i $B\cup C$ blizu, onda su ili $A$ i $B$ blizu, ili $A$ i $C$ blizu
• ako je $A\cap B\neq \emptyset$, onda su $A$ i $B$ blizu

Generalizovana definicija

Relacija blizine između skupa i tačke se može generalizovati na bilo koji topološki prostor. Ako su dati topološki prostor i tačka $p$, za tačku $p$ se kaže da je blizu skupu $A$ ako $p\in \operatorname {cl} (A)={\overline {A}}$.

Topološke strukture su previše slabe da bi se mogla definisati relacija blizine između dva skupa, i onda moraju da se koriste uniformne strukture. U datom uniformnom prostoru, za skupove A i B se kaže da su blizu jedan drugom ako se seku u svim okolinama, to jest, za svaku okolinu U, skup (A×B) ∩ U je neprazan.

Vidi još

• Topološki prostor