Равномерна непрекидност

Из Википедије, слободне енциклопедије

Дефиниција[уреди]

Функцију f:X\rightarrow\mathbb{R}, где је X \subseteq \mathbb{R}, а функција је непрекидна на скупу X, називамо равномерно (униформно) непрекидном на том скупу, ако се за свако \varepsilon > 0, може наћи позитивно  \delta , тако да за сваке две тачке њеног домена које се налазе на растојању мањем од  \delta , важи  |f(x_1) - f(x_2)| < \varepsilon.

Односно, услов равномерне непрекидности функције f на скупу X се може записати као:

(\forall \varepsilon > 0)(\exists \delta > 0)(\forall x_1,x_2 \in X)(|x_1 - x_2| < \delta \Rightarrow |f(x_1) - f(x_2)| < \varepsilon).

Дискусија дефиниције[уреди]

Оправданост ове дефиниције, поред дефиниције саме непрекидности функције потиче од тога - да би функција била непрекидна у свакој тачки свог домена X, потребно је наћи најмање \delta=\delta_0 од свих околина сваке тачке домена, за које би онда важило:

(\forall x, x_0 \in X)(|x - x_0| < \delta \Rightarrow |f(x) - f(x_0)| < \varepsilon).

Ако је скуп X коначан, то је могуће урадити. Међутим, када X није коначан, не постоји гаранција да ће такво најмање \delta=\delta_0 уопште постојати. Тиме је оправдана постојаност наведене дефиниције равномерне непрекидности.

Критеријум за одређивање равномерне непрекидности[уреди]

Vista-xmag.png За више информација погледајте чланак Канторов став о равномерној непрекидности

Општи критеријум за одређивање равномерне непрекидности функција даје Канторов став о равномерној непрекидности. Теорема се може доказати коришћењем Борел-Лебегове леме о покривачима и потпокривачима.

Теорема[уреди]

Ако је функција f:[a,b] \rightarrow \mathbb{R} непрекидна на интервалу [a,b], она је и равномерно непрекидна на њему.

Доказ[уреди]

Из дефиниције непрекидности имамо да ако је функција f:[a,b] \rightarrow \mathbb{R} непрекидна на интервалу [a,b] (дато као услов за теорему), онда за произвољну тачку x из тог сегмента постоји нека околина U(x) = (x - \delta, x + \delta) и за све тачке x_1 \in U(x) важи: |f(x) - f(x_1)| < \frac { \varepsilon} {2}).

Изаберимо 2 тачке, x_1, x_2 \in U(x). Тада је:

|f(x_1) - f(x_2)| \leq |f(x) - f(x_1)| + |f(x) - f(x_2)| < \frac { \varepsilon} {2} + \frac { \varepsilon} {2} = \varepsilon.

Изаберимо сада околину дупло мањег полупречника, U'(x) = (x - \frac { \delta} {2}, x + \frac { \delta} {2}). Ако такву околину конструишемо за сваку тачку сегмента [a,b], добићемо скуп отворених интервала који очигледно прекрива цео сегмент [a,b], па скуп тих интервала чини покривач сегмента [a,b]. Из Борел-Лебегове леме имамо да постоји коначан потпокривач тог интервала, тј. да постоје тачке x_1, x_2, ..., x_n тако да њихове околине U'_1, U'_2, ..., U'_n образују подпокривач сегмента [a,b]. Како тачака x_1, x_2, ..., x_n има коначно много, може се међу њиховим околинама пронаћи најмање  \frac {\delta_i} {2} и означимо га са  \delta.

Изаберимо сада неку тачку x' из интервала [a,b] која припада неком од интервала U'_1, U'_2, ..., U'_n, што записујемо: |x_i - x'| < \frac { \delta_i} {2}.

Изаберимо и тачку x'' из интервала [a,b] која се налази у \delta-околини тачке x', тј. |x' - x''| < \delta. То можемо урадити по дефиницији, зато што је функција у целом сегменту непрекидна, а пошто је  \delta \leq \frac { \delta_i} {2}, онда је сигурно и |x' - x''| < \frac { \delta_i} {2}.

Сада, из |x_i - x'| < \frac { \delta_i} {2} и |x' - x''| < \frac { \delta_i} {2} имамо да је:

|x_i - x''| \leq |x' - x_i| + |x' - x''| < \frac { \delta_i} {2} + \frac { \delta_i} {2} = \delta_i,

тј. обе тачке, и x' и x'', припадају  \delta_i-околини тачке  \delta_i, односно, обе се налазе унутар неке околине (x - \delta_i, x + \delta_i), па имамо да је онда |f(x') - f(x'')| < \varepsilon, што је и требало доказати.

Види још[уреди]

Литература[уреди]

  • Душан Аднађевић, Зоран Каделбург: Математичка анализа 1, Студентски трг, Београд, 1995.