Grinova teorema

U fizici i matematici, Grinova teorema daje odnos između krivolinijskog integrala oko proste zatvorene krive C i dvostrukog integrala nad oblasti D ograničenom sa C. To je specijalni dvodimenzionalni slučaj opštije Stoksove teoreme, a dobila je ime po britanskom naučniku Džordžu Grinu.

Neka je C pozitivno orijentisana, deo po deo glatka, prosta zatvorena kriva u ravni i neka je D oblast ogranična krivom C. Ako L i M imaju neprekidne parcijalne izvode na otvorenoj oblasti koja sadrži D, onda

$\int _{C}L\,dx+M\,dy=\iint _{D}\left({\frac {\partial M}{\partial x}}-{\frac {\partial L}{\partial y}}\right)\,dA$

Nekada se crta kružić na simbolu za integral ($\oint _{C}$) da se označi da je kriva C zatvorena (tada se integral naziva cirkulacijom). Za pozitivnu orijentaciju, na ovom krugu se može nacrtati strelica u smeru suprotnom smeru kazaljke na satu.

Dokaz kada je D prosta oblast

Ako je D prosta oblast čije se granice sastoje od krivih C₁, C₂, C₃, C₄, može se demonstrirati Grinova teorema.

Sledi dokaz teoreme za pojednostavljenu oblast D, oblast tipa I gde su C₂ i C₄ vertikalne linije. Sličan dokaz postoji kada je D oblast tipa II, gde su C₁ i C₃ prave linije.

Ako se može pokazati da su iskazi

$\int _{C}L\,dx=\iint _{D}\left(-{\frac {\partial L}{\partial y}}\right)\,dA\qquad \mathrm {(1)}$

i

$\int _{C}M\,dy=\iint _{D}\left({\frac {\partial M}{\partial x}}\right)\,dA\qquad \mathrm {(2)}$

tačni, onda se može dokazati Grinova teorema u prvom slučaju.

Oblast tipa I, D na slici desno, definisana sa:

$D=\{(x,y)|a\leq x\leq b,g_{1}(x)\leq y\leq g_{2}(x)\}$

gde su g₁ i g₂ neprekidne funkcije. Izračunajmo dvostruki integral iz (1):

$\iint _{D}\left({\frac {\partial L}{\partial y}}\right)\,dA$	$=\int _{a}^{b}\!\!\int _{g_{1}(x)}^{g_{2}(x)}\left[{\frac {\partial L}{\partial y}}(x,y)\,dy\,dx\right]$
	$=\int _{a}^{b}{\Big \{}L[x,g_{2}(x)]-L[x,g_{1}(x)]{\Big \}}\,dx\qquad \mathrm {(3)}$

C se može zapisati kao unija četiri krive: C₁, C₂, C₃, C₄.

Kod C₁, koristimo parametarske jednačine: x = x, y = g₁(x), a ≤ x ≤ b. Tada

$\int _{C_{1}}L(x,y)\,dx=\int _{a}^{b}{\Big \{}L[x,g_{1}(x)]{\Big \}}\,dx$

Kod C₃, koristimo parametarske jednačine: x = x, y = g₂(x), a ≤ x ≤ b. Tada

$\int _{C_{3}}L(x,y)\,dx=-\int _{-C_{3}}L(x,y)\,dx=-\int _{a}^{b}[L(x,g_{2}(x))]\,dx$

Integral nad C₃ se negira, jer ide u negativnom pravcu od b do a, jer je C orijentisana pozitivno (u smeru suprotnom smeru kazaljke na satu). Na C₂ i C₄, x ostaje konstantno, što znači da

$\int _{C_{4}}L(x,y)\,dx=\int _{C_{2}}L(x,y)\,dx=0$

Stoga,

$\int _{C}L\,dx$	$=\int _{C_{1}}L(x,y)\,dx+\int _{C_{2}}L(x,y)\,dx+\int _{C_{3}}L(x,y)\,dx+\int _{C_{4}}L(x,y)\,dx$
	$=-\int _{a}^{b}[L(x,g_{2}(x))]\,dx+\int _{a}^{b}[L(x,g_{1}(x))]\,dx\qquad \mathrm {(4)}$

Kombinovanjem (3) sa (4), dobijamo (1). Na sličan način dobijamo (2).

Vidi još

• Stoksova teorema
• Krivolinijski integral

Spoljašnje veze

• Mathworld
• Fleš demonstracija Grinove teoreme