Гринова теорема

Из Википедије, слободне енциклопедије

У физици и математици, Гринова теорема даје однос између криволинијског интеграла око просте затворене криве C и двоструког интеграла над области D ограниченом са C. То је специјални дводимензионални случај општије Стоксове теореме, а добила је име по британском научнику Џорџу Грину.

Нека је C позитивно оријентисана, део по део глатка, проста затворена крива у равни и нека је D област огранична кривом C. Ако L и M имају непрекидне парцијалне изводе на отвореној области која садржи D, онда

Некада се црта кружић на симболу за интеграл () да се означи да је крива C затворена (тада се интеграл назива циркулацијом). За позитивну оријентацију, на овом кругу се може нацртати стрелица у смеру супротном смеру казаљке на сату.

Доказ када је D проста област[уреди]

Ако је D проста област чије се границе састоје од кривих C1, C2, C3, C4, може се демонстрирати Гринова теорема.

Следи доказ теореме за поједностављену област D, област типа I где су C2 и C4 вертикалне линије. Сличан доказ постоји када је D област типа II, где су C1 и C3 праве линије.

Ако се може показати да су искази

и

тачни, онда се може доказати Гринова теорема у првом случају.

Област типа I, D на слици десно, дефинисана са:

где су g1 и g2 непрекидне функције. Израчунајмо двоструки интеграл из (1):


C се може записати као унија четири криве: C1, C2, C3, C4.

Код C1, користимо параметарске једначине: x = x, y = g1(x), axb. Тада

Код C3, користимо параметарске једначине: x = x, y = g2(x), axb. Тада

Интеграл над C3 се негира, јер иде у негативном правцу од b до a, јер је C оријентисана позитивно (у смеру супротном смеру казаљке на сату). На C2 и C4, x остаје константно, што значи да

Стога,

Комбиновањем (3) са (4), добијамо (1). На сличан начин добијамо (2).

Види још[уреди]

Спољашње везе[уреди]