Гринова теорема

У физици и математици, Гринова теорема даје однос између криволинијског интеграла око просте затворене криве C и двоструког интеграла над области D ограниченом са C. ^[1]То је специјални дводимензионални случај општије Стоксове теореме, а добила је име по британском научнику Џорџу Грину.

Нека је C позитивно оријентисана, део по део глатка, проста затворена крива у равни и нека је D област огранична кривом C. Ако L и M имају непрекидне парцијалне изводе на отвореној области која садржи D, онда

\int _{C}L\,dx+M\,dy=\iint _{D}\left({\frac {\partial M}{\partial x}}-{\frac {\partial L}{\partial y}}\right)\,dA

Некада се црта кружић на симболу за интеграл ( $\oint _{C}$ ) да се означи да је крива C затворена (тада се интеграл назива циркулацијом). За позитивну оријентацију, на овом кругу се може нацртати стрелица у смеру супротном смеру казаљке на сату.

Доказ када је D проста област

Ако је D проста област чије се границе састоје од кривих C₁, C₂, C₃, C₄, може се демонстрирати Гринова теорема.

Следи доказ теореме за поједностављену област D, област типа I где су C₂ и C₄ вертикалне линије. Сличан доказ постоји када је D област типа II, где су C₁ и C₃ праве линије.

Ако се може показати да су искази

\int _{C}L\,dx=\iint _{D}\left(-{\frac {\partial L}{\partial y}}\right)\,dA\qquad \mathrm {(1)}

и

\int _{C}M\,dy=\iint _{D}\left({\frac {\partial M}{\partial x}}\right)\,dA\qquad \mathrm {(2)}

тачни, онда се може доказати Гринова теорема у првом случају.

Област типа I, D на слици десно, дефинисана са:

D=\{(x,y)|a\leq x\leq b,g_{1}(x)\leq y\leq g_{2}(x)\}

где су g₁ и g₂ непрекидне функције. Израчунајмо двоструки интеграл из (1):

$\iint _{D}\left({\frac {\partial L}{\partial y}}\right)\,dA$	$=\int _{a}^{b}\!\!\int _{g_{1}(x)}^{g_{2}(x)}\left[{\frac {\partial L}{\partial y}}(x,y)\,dy\,dx\right]$
	$=\int _{a}^{b}{\Big \{}L[x,g_{2}(x)]-L[x,g_{1}(x)]{\Big \}}\,dx\qquad \mathrm {(3)}$

C се може записати као унија четири криве: C₁, C₂, C₃, C₄.

Код C₁, користимо параметарске једначине: x = x, y = g₁(x), a ≤ x ≤ b. Тада

\int _{C_{1}}L(x,y)\,dx=\int _{a}^{b}{\Big \{}L[x,g_{1}(x)]{\Big \}}\,dx

Код C₃, користимо параметарске једначине: x = x, y = g₂(x), a ≤ x ≤ b. Тада

\int _{C_{3}}L(x,y)\,dx=-\int _{-C_{3}}L(x,y)\,dx=-\int _{a}^{b}[L(x,g_{2}(x))]\,dx

Интеграл над C₃ се негира, јер иде у негативном правцу од b до a, јер је C оријентисана позитивно (у смеру супротном смеру казаљке на сату). На C₂ и C₄, x остаје константно, што значи да

\int _{C_{4}}L(x,y)\,dx=\int _{C_{2}}L(x,y)\,dx=0

Стога,

$\int _{C}L\,dx$	$=\int _{C_{1}}L(x,y)\,dx+\int _{C_{2}}L(x,y)\,dx+\int _{C_{3}}L(x,y)\,dx+\int _{C_{4}}L(x,y)\,dx$
	$=-\int _{a}^{b}[L(x,g_{2}(x))]\,dx+\int _{a}^{b}[L(x,g_{1}(x))]\,dx\qquad \mathrm {(4)}$