Zajdelova teorija aberacija

Zajdelova teorija aberacija, takođe poznata pod nazivom "Teorija aberacija trećeg reda", je prva teorija aberacija konusoida - površina opisanim rotacijom konusnih preseka oko središnje ose. Nazvana je po njenom tvorcu, nemačkom matematičaru Ludvihu Filipu Zajdelu (Ludwig Phillip Siedel), koji ju je objavio 1856-te godine.

Značaj i primena

Zajdelova teorija aberacija je bila prvi veliki korak ka ustanovljavanju optičke teorije koja bi utvrdila neposrednu vezu između svojstava optičkih površina i kakvoće optičke slike koju one proizvode. Mada je bila ograničena na praćenje optičkih zraka i geometrijske slike koju oni proizvode - dakle, bez uvida u fizičke osobine slike - i obuhvatala samo tzv. primarne aberacije, omogućila je bitan napredak ne samo u optičkoj kakvoći postojećih vrsta optičkih sklopova, nego takođe i pronalaženje i razvoj novih. Mada je prevaziđena opštom teorijom aberacija konusoida Karla Švarcšilda, kao i novijim prilozima teoriji aberacija (npr. Zernike polinomi), Zajdelova teorija još ima praktičnu vrednost.

Trigonometrijska osnova i postupak

Zajdelova teorija se zasniva na trigonometrijskom praćenju putanje optičkih zraka, na osnovu čega se dolazi do veličine transverzne, ili poprečne aberacije u ravni Gausove žiže. Zraci se prate od prve do poslednje optičke površine, i za svaku se posebno računa veličina i znak aberacije. Konačna aberacija za ceo optički sklop data je zbirom aberacija sa svake površini.

Pošto su trigonometrijski proračuni u to vreme rađeni bez pomoći elektronskih računara, zahtevali su puno vremena. Iz tog razloga, Zajdel je za dobjanje vrednosti uglova zraka koristio aproksimaciju vrednosti ugla trećeg reda, tj. samo prva dva člana u matematičkoj seriji za sinus ugla:

                 sinα = α-(1/3!)α3+(1/5!)α5-(1/7!)α7+..., 

gde je α na desnoj strani jednačine ugao u radijanima.

Osnovne crte

Zajdelova teorija opisuje oblik i veličinu geometrijske aberacije, tzv. raspored tačaka zraka u ravni Gausovske žiže za aberacije slike tačke: sfernu aberaciju, koma aberaciju i astigmatizam. Takođe, opisuje veličinu aberacija položaja slike tačke: zakrivljenosti polja slike, i izobličenja (distorzije) slike.

Teorija proračunava svaku aberaciju odvojeno, što znači da ne iskazuje zajedničko dejstvo dve ili više aberacija. U slučaju kad je prisutno više aberacija, veličina svake od njih posebno omogućava da se stekne manje ili više gruba predstava o nivou ukupne aberacije.

Pošto teorija koristi aproksimaciju ugla trećeg reda, ona je u slučaju aberacija slike tačke ograničena samo na najznačajniji po veličini deo ukupne aberacije, tzv. primarnu aberaciju, ili aberaciju trećeg reda. Srazmerno mali deo ukupne aberacije - tzv. aberacije višeg reda - sekundarne, tercijarne, i više, nije obuhvaćen ovom teorijom.

Aberacije višeg reda su zanimarljive u sklopovima gde su uglovi zraka u odnosu na optičku osu, i u odnosu na normalu na optičku površinu mali - kakvi su bili u doba kada je Zajdelova teorija stvorena - ali često ne u modernim sklopovima, koji koriste široka ugaona polja slike i/ili snažno zakrivljene optičke površine.

Takođe, pošto je ograničena na geometrijski aspekt aberacija, tj. na geometrijske osobine rasporeda tačaka zraka, nije direktno povezana sa fizičkom slikom tačke i njenim osobinama. U vezi s tim, opis aberacije slike tačke koju teorija daje u ravni Gausovske žiže se razlikuje od aberacije u tački najbolje, ili difrakcione žiže, koja se ne poklapa sa Gausovskom žižom u sva tri slučaja: primarne sferne aberacije, kome i astigmatizma.

Matematički oblik

Zajdelova teorija je u svom izvornom obliku računski složena, zbog čega je tokom upotrebe pojednostavljivana. Svaki od ovih jednostavnijih oblika je još uvek zasnovan na izvornoj teoriji, i zbog toga zadržava naziv Zajdelova teorija. U jednom od najjednostavnjih oblika, Zajdelov zbir, koji predstavlja ukupnu aberaciju optičkog sklopa kao zbir vrednosti aberacije za svaku pojedinu optičku površinu, dat je za klasične aberacije sledećim izrazima (za sferne optičke površine):

ABERACIJA	ZAJDELOV ZBIR
SFERNA	SI = -ΣA2h(Δu)
KOMA (SAGITALNA)	SII = -ΣAAgh(Δu)
ASTIGMATIZAM	SIII = -ΣAg2h(Δu)
PECVALOVA ZAKRIVLjENOST POLjA	SIV = -ΣL2cΔ(1/n)
DISTORZIJA (IZOBLIČENjE) SLIKE	SIV = -Σ[(Ag3/A)h(Δu)+(Ag/A)L2cΔ(1/n)]

gde su činilac prelamanja/odbijanja:

• A = n(hc+u) = ni = n′i′ za ivični zrak

(h je visina ivičnog zraka na površini, c je recipročna vrednost poluprečnika zakrivljenosti, u je ugao ivičnog zraka sa optičkom osom, i i je ugao zraka sa normalom na optičku površinu),

• A_g = n(h_gc+u_g) = ni_g = n′i′_g za glavni zrak,

(visina glavnog zraka u slučaju kad je granični otvor na prvoj površini je nula, a njegov upadni ugao u odnosu na optičku osu se poklapa sa uglom u odnosu na normalu na površinu; za druge površine, ili za granični otvor razdvojen od površine, visina graničnog zraka na površini je različita od nule, i njegov upadni ugao u odnosu na optičku osu je različit od ugla u odnosu na normalu na površinu)

indeks prelamanja:

• n za sredinu pre prelamanja/odbijanja, i
• n′ za sredinu posle prelamanja/odbijanja,

ugaona razlika:

• (Δu) = (u'/n')-(u/n)

razlika recipročnog indeksa

• Δ(1/u) = (1/n')-(1/n)

činilac zakrivljenosti optičke površine:

• c=1/r, gde je r poluprečnik zakrivljenosti, i

Lagranžova invarijanta,

• L = tnu = t'n'u'.

jednaka proizvodu visine tačke (t), indeksa (n) i ugla (u), bilo pre ili posle prelamanja/odbijanja.

Zajdelov zbir pomnožen sa fokalnim raciom sklopa daje vrednost transverzne aberacije.

VELIČINE ZA PRORAČUN ZAJDELOVOG ZBIRA

Slika desno prikazuje veličine koje se koriste u ovim izrazima, na jednostavnom primeru jedne prelomne površine (postupak je isti za dodatne površine; u slučaju kad postoji više površina - naznačeno isprekidanom kružnom linijom - ili kad je granični otvor razdvojen od prvog optičkog elementa, visina zraka na površini se utvrdjuje na osnovu razmaka, i na osnovu visine određuju se upadni i prelomni/odbojni ugao). Gore su prikazane veličine za tačku na optičkoj osi, a dole za vanosnu tačku. U oba slučaja prisutna je aberacija: u prvom slučaju sferna aberacija, u drugom koma, sa odgovarajućim rasporedom tačaka zraka iznad bočnog preseka (radi jasnoće, oba rasporeda su nešto veća).

U oba slučaja, puna transverzna aberacija je jednaka visini rasporeda tačaka zraka. U slučaju kome, donja trećina geometrijske slike (od zašiljenog kraja prema zaobljenom) je sagitalna koma, dok je puna dužina slike tangencijalna koma.

Primer: udubljeno ogledalo

Kao jednostavan primer, sledi proračun Zajdelovog zbira za sfernu aberaciju i komu, za udubljeno sferno ogledalo prečnika 200mm, žižne daljine 1000mm (žižni racio ƒ/5, tj. F=5), za vrlo udaljen predmet (tj. za praktično paralelne snopove ulaznh zraka)

Sferna aberacija

Činilac prelamanja za tačku na osi je:

A = n(hc+u) = 1(100x-0,0005+0)=-0,05,

i Zajdelov zbir za sfernu aberaciju je:

S_I = -ΣA²h(Δu) = 0,05²x100x0,1 = -0,025

Zajdelov zbir je -0,025, što znači da je transverzna sferna aberacija, kao poluprečnik rasporeda tačaka zraka u ravni Gausove žiže, -0,025F, ili -0,125mm. Znak je negativan zato što se ivični zrak seče se sa ravni Gausove žiže ispod optičke ose. Pošto je vrh-dno greška talasnog fronta u slučaju sferne aberacije 8F puta manja od poluprečnika rasporeda tačaka, to znači da je u ovom slučaju ona 0,0031mm, ili 5,7λ za talasnu dužinu λ=0.00055mm.

Koma

Za vanosnu tačku sa koje zraci stižu pod uglom od jednog lučnog stepena, činilac prelamanja:

A_g = n(h_gc+u_g) = 1(0x-0,0005+0,0175) = -0,0175

i Zajdelov zbir za sagitalnu komu je:

S_II = -ΣAA_gh(Δu) = 0,05x-0,0175x100x0,1 = 0,00875

To znači da je transverzna sagitalna koma 0,00875F, ili 0,04375mm. Tangencijalna koma, koja predstavlja punu transferznu aberaciju kome, je tri puta veća, tj. 0,13mm. Pošto je vrh-dno greška talasnog fronta u slučaju kome u ravni Gausove žiže manja od transverzne aberacija 3F puta, ona je u ovom slučaju 0,0087mm, ili 15,8λ za talasnu dužinu λ=0.00055mm.

Zajdelov zbir za ostale oblike aberacija i za nesferne površine

Pored transverzne aberacije, koja se može izraziti bilo kao linearna ili ugaona (tj. linearna transverzna podeljena sa optičkom udaljenošću slike), Zajdelovim proračunom može se izraziti i veličina uzdužne aberacije, kako za jednobojne (monohromatske) aberacije kao sferna i astigmatizam, tako i za longitudinalnu i lateralnu hromatsku aberaciju.

Sa potrebnim dopunama, Zajdelov proračun se takođe može koristiti za izražavanje veličine geometrijskih aberacija za optičke površine razlčite od sfernih, bilo da su u pitanju konusoidi, asfere Šmitove vrste, druge vrste asfera, sklopova sa kosim optičkim površinama, i sa osno asimetričnim površinama.

Zajdelov zbir i aberaciona funkcija talasnog fronta

Pošto su transverzne aberacije srazmerne aberacijama talasnog fronta, Zajdelove sume mogu se koristiti za izražavanje aberacione funkcoje talasnog fronta za primarne aberacije. Aberaciona funkcija primarnih aberacija izražava sveukupno izobličenje talasnog fronta od strane ovih aberacija. U svom uobičajenom obliku, ova funkcija koristi aberacione koeficijente, koji su posredno (koeficijenti) ili neposredno (puni koeficijenti) povezanii sa vrh-dno (V-D) greškom talasnog fronta. U tom obliku, ona je data kao:

  W(ρ,θ) = s(ρd)4 + kα(ρd)3cosθ + aα2(ρd)2cos2θ + zα2(ρd)2 + oα3(ρd)cosθ

kad koristi aberacione koefcijente s, k, a, z i o, za sfernu aberaciju, komu, astigmatizam, zakrivljenost polja slike i izobličenje slike, u istom redosledu (ρ,θ su polarne koordinate tačke u otvoru sklopa, gde je ρ izraženo u jedinci poluprečnika otvora, dakle 0≤ρ≤1, a θ se meri od ose aberacije, d je poluprečnik otvora, a α je ugao polja tačke). Vrednost aberacionih koeficijenata menja se sa vrstom optičke površine ili elementa, i njihovim osobinama (poluprečnik zakrivljenosti, indeks prelamanja, konična konstanta, i druge).

Sa punim aberacionim koeficjentima, u istom redosledu, funkcija je data kao:

                 W(ρ,θ) = Sρ4 + Kρ3cosθ + Aρ2cos2θ + Zρ2 + Oρcosθ, 

dok je sa Zajdelovim zbirom za svaku aberaciju data kao:

              W(ρ,θ) = (SI/8)ρ4 + (SII/2)ρ3cosθ + (SIII/2)ρ2cos2θ +
          
                    + 0,25(2SIII+SIV)ρ2 + (SV/2)ρcosθ 

Dakle, Zajdelov zbir i pun aberacioni koeficijent za svaku od pet aberacija su u nepromenjenom odnosu: S=S_I/8, K=S_II/2, A=S_III/2, Z=(2S_III+S_IV)/4 i O=S_V/2.

Koristeći vrednosti Zajdelovog zbira za sfernu aberaciju i komu u primeru za udubljeno ogledalo, i najveću vrednost jediničnog poluprečnika otvora, ρ=1 (za klasične, ili primarne aberacije, najveća vrednost talasne greške je uvek za ρ=1), S_I=0.025mm, dobija se V-D vrednost od 5,7λ za talasnu dužinu λ=0.00055mm. Sa Zajdelovim zbirom za komu, S_II=0,00875mm, za ugao polja od jedaog lučnog stepena, dobija se 7,95λ što, pošto je funkcija za komu polovina ukupne greške, daje 15,9λ V-D grešku u ravni Gausove žiže (male razlike u odnosu na vrednosti izvedene u samom primeru su posledica zaokruživanja).

Izvori

• Handbook of Optical Systems: Vol. 3. Aberration Theory and Correction of Optical Systems, Gross, Zügge, Peschka, Blechinger, 2007
• Optical imaging and aberrations I, V.N. Mahajan 1998
• Telescope optics: evaluation and design, H. Rutten and M. van Venrooij, 1988
• Practical optics, W.T. Welford, 1991