Kvadratura lunule

Kvadratura lunule predstavlja površinu figure koja podseća na mesec (u fazi mladog meseca), a dobija se konstruisanjem polukrugova nad katetom i hipotenuzom jednakokrako-pravouglog trougla i oduzimanjem površina odgovarajućih odsečaka.

Posledica Pitagorine teoreme

Neka su a i b katete i c hipotenuza pravouglog trougla ABC. Tada važi relacija c²=a²+b². Odatle sledi da je πc²=πa²+πb² , pa je površina kruga kojem je prečnik hipotenuza pravouglog trougla, jednaka zbiru površina dvaju krugova kojima su prečnici katete tog trougla. Tada važi da je površina polukruga nad hipotenuzom jednaka zbiru površina polukrugova nad katetama.

Još je u 5. veku pre nove ere zahvaljujući ovom tvrđenju, Hipokrat sa Hiosa uspeo da dokaže da „krivolinijski lik” može biti jednak „pravolinijskom”. Ovaj primer ulivao je nadu da će jednog dana biti rešen i problem kvadrature kruga tj. da će samo konstrukcijama pravih i krugova biti konstruisan kvadrat jednak po površini zadatom krugu.

BAN i ACM su dobijene lunule

Dokaz kvadrature lunule

O Hipokratovom otkriću „kvadrature lunule” ili meniska svedoče spisi Aleksandra iz Afrodizije jer je Hipokratov tekst izgubljen. Pretpostavimo da je BC prečnik kruga kojem je O središte, BA i CA ivice kvadrata koji je upisan u taj krug. Nad ivicom AB kao nad prečnikom opisan je polukrug BNA. Povežimo tačke A i O.

Pošto je BC²=2AB², a krugovi (pa stoga i polukrugovi) jedan prema drugome odnose se kao kvadrati nad njihovim prečnicima,

biće (polukrug BAC)=2(polukrug BNA),

ali (polukrug BAC)=2(kvadrant BOA),

pa je (polukrug BNA)=(kvadrant BOA).

Ako sada oduzmemo zajednički deo, dobićemo da je (lunula BNA)=∆BOA,

pa je tako dobijena kvadratura lunule.