Pređi na sadržaj

Klebš-Gordanovi koeficijenti

S Vikipedije, slobodne enciklopedije

Klebš-Gordanovi koeficijenti sa oznakom ili koriste se u matematici i fizici da bi se za Lijeve grupe dekomponovao tenzorski proizvod dve ireducibilne reprezentacije. Koriste se i prilikom sabiranja ugaonih momenata. Imenovani su u čast nemačkih matematičara Alfreda Klebša i Paula Alberta Gordana.

Definicija

[uredi | uredi izvor]

Neka Lijeva grupa ima dve ireducibilne reprezentacije i . Vektori baze u dve reprezentacije pretpostavimo da su i . Ireducibilni tenzorski operator predstavlja tenzorske komponente , koje se transformišu po ireducibilnim reprezentacijama grupe, tj. ako zadovoljavaju uslov:

Vektori , gde obrazuju bazu reprezentacije od . U opštem slučaju taj prikaz je reducibilan, pa se dade prikazati pomoću linearnih kombinacija baze ireducibilih reprezentacija. Dobija se:

Tako dani koeficijenti nazivaju se opšti Klebš-Gordanovi koeficijenti grupe .

Operatori ugaonih momenata

[uredi | uredi izvor]

Operatori ugaonih momenata su autoadjungirani operatori, koji zadovoljavaju relacije komutacije:

a je Levi-Čivita simbol. Tri operatora zajedno čine vektorski operator:

je primer Kazimirovoga operatora.

Stanja ugaonih momenata

[uredi | uredi izvor]

Iz gornjih definicija dobija se da komutira sa , and :

Kada dva ermitska operatora komutiraju tada postoji zajednički skup svojstvenih funkcija. Odaberu li se i onda nalazimo svojstvena stanja koristeći komutacione relacije:

S druge strane operatori i menjaju vrednosti:

Stanja ugaonih momenata mora da budu ortogonalana i normalizirana:

Tenzorski proizvod

[uredi | uredi izvor]

Neka predstavlja -dimenzionalni vektorski prostor sa bazom određenom stanjima:

Drugi prostor neka je -dimenzionalni vektorski prostor sa bazom određenom stanjima:

Tenzorski proizvod tih prostora je dimenzionalan prostor sa bazom:

Dejstvo operatora na takvoj bazi može se definisati pomoću:

i

Ukupni ugaoni moment se onda može definisati sa:

Ugaoni momenti zadovoljavaju komutacione relacije:

pa sledi:

Ukupni ugaoni moment treba da zadovoljava triangularnu relaciju:

Ukupan broj svojstvenih stanja jednak je dimenziji

Formalna definicija koeficijenata

[uredi | uredi izvor]

Stanja ukupnoga ugaonoga momenta mogu se razviti:

a koeficijenti toga razvoja nazivaju se Klebš-Gordanovi koeficijenti. Ukoliko na obe strane gornjega izraza primenimo operator onda možemo da vidimo da su koeficijenti različiti od nule samo ako je

Rekurzije

[uredi | uredi izvor]

Uz pomoć operatora dobijamo:

Primenimo li isti operator na desnu stranu prve jednačine iz prošloga poglavlja dobija se:

Kombinujući te rezultate dobija se rekurzija:

Uzmemo li dobijamo:

Ortogonalnost

[uredi | uredi izvor]

Eksplicitan prikaz koeficijenata

[uredi | uredi izvor]

Specijalni slučajevi

[uredi | uredi izvor]

Za Klebš-Gordanovi koeficijenti su:

Za i imamo

Za i vredi:

Za vredi:

Za imamo:

Simetrije

[uredi | uredi izvor]

Veza sa 3-jm simbolima i D-matricama

[uredi | uredi izvor]

Klebš-Gordanovi koeficijenti povezani su sa 3-j simbolima:

Integracijom tri Vignerove D matrice dobija se Klebš Gordanov koeficijent:

Literatura

[uredi | uredi izvor]
  • 3j, 6j i 9j simboli
  • Abramowitz, Milton; Stegun, Irene A., eds. , Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables. . New York: Dover. 1965. ISBN 978-0-486-61272-0. 
  • Edmonds, A. R., Angular Momentum in Quantum Mechanics, Princeton. . New Jersey: Princeton University Press. 1957. ISBN 978-0-691-07912-7. 
  • Messiah, Albert , Quantum Mechanics (Volume II) (12th ed.). . New York: North Holland Publishing. 1981. ISBN 978-0-7204-0045-8.