Леви-Чивита симбол

Из Википедије, слободне енциклопедије

Леви-Чивита симбол представља математички пермутациони симбол, који се користи у тензорском рачуну. Име је добио по талијанском математичару Тулију Леви-Чивити. У тродимензионалном простору означава се са  \varepsilon_{ijk}. Називају га још и антисиметричним јединичним тензором.

Дефиниција у тродимензионалном простору[уреди]

У тродимензионалном простору дефинише се као:

 \varepsilon_{ijk} = \varepsilon^{ijk} =
\begin{cases}
+1 & \text{ako je } (i,j,k) \text{ jednako } (1,2,3), (3,1,2) \text{ ili } (2,3,1), \\
-1 & \text{ako je } (i,j,k) \text{ jednako } (1,3,2), (3,2,1) \text{ ili } (2,1,3), \\
\;\;\,0 & \text{ako je }i=j \text{ ili } j=k \text{ ili } k=i
\end{cases}
Приказ Леви-Чивита симбола као 3×3×3 матрице

тј.  \varepsilon_{ijk} је 1 ако (i, j, k) представља парну пермутацију бројева (1,2,3), једнак је −1 у случају непарних пермутација, а једнак је 0 у случају да се индекси понављају. Леви-Чивита симбол може да се напише и помоћу формуле:


  \varepsilon_{ijk}  = \frac{\left(i-j \right)\left(j-k \right)\left(k-i \right)}{2}

Дефиниција у четвородимензионалном простору[уреди]

Дефиниција у четвородимензионалном простору је:


  \varepsilon_{ijkl} = \frac{\left(i-j \right)\left(i-k \right)\left(i-l \right)\left(j-k \right)\left(j-l \right)\left(k-l \right)}{12}

У n-димензионалном простору Леви-Чивита симбол је:

\varepsilon_{ijkl\dots} = \varepsilon^{ijkl\dots} =
\begin{cases}
+1 & \mbox{ako je }(i,j,k,l,\dots) \mbox{ je parna permutacija od } (1,2,3,4,\dots) \\
-1 & \mbox{ako je }(i,j,k,l,\dots) \mbox{ je neparna permutacija od } (1,2,3,4,\dots) \\
0 & \mbox{inače}
\end{cases}

Поопштена формула може да се напише и као:


 \varepsilon_{a_1 a_2 a_3 \ldots a_n} = \sgn \! \left(\prod_{i<j}^n (a_j-a_i ) \right) = \sgn \! \left(\prod_{i=1}^{n-1} \ \prod_{j=i+1}^n (a_j-a_i )  \right)

Својства[уреди]

У две димензије[уреди]

\varepsilon_{ij} \varepsilon^{mn} =  \delta_i {}^m \delta_j {}^n - \delta_i {}^n \delta_j {}^m

 

 

 

 

(1)

\varepsilon_{ij} \varepsilon^{in}  =  \delta_j{}^n

 

 

 

 

(2)

\varepsilon_{ij} \varepsilon^{ij}  =  2

 

 

 

 

(3)

У три димензије[уреди]

\varepsilon_{ijk} \varepsilon^{imn}=\delta_j{}^{m}\delta_k{}^n - \delta_j{}^n\delta_k{}^m

 

 

 

 

(4)

\varepsilon_{jmn} \varepsilon^{imn}=2\delta^i_j

 

 

 

 

(5)

\varepsilon_{ijk} \varepsilon^{ijk}=6

 

 

 

 

(6)

Леви-Чивита симбол је повезан са Кронекеровим делта симболом:

\begin{align}
\varepsilon_{ijk}\varepsilon_{lmn} & = \begin{vmatrix}
\delta_{il} & \delta_{im}& \delta_{in}\\
\delta_{jl} & \delta_{jm}& \delta_{jn}\\
\delta_{kl} & \delta_{km}& \delta_{kn}\\
\end{vmatrix}\\
 & = \delta_{il}\left(\delta_{jm}\delta_{kn} - \delta_{jn}\delta_{km}\right) - \delta_{im}\left(\delta_{jl}\delta_{kn} - \delta_{jn}\delta_{kl} \right) + \delta_{in} \left(\delta_{jl}\delta_{km} - \delta_{jm}\delta_{kl} \right) 
\end{align}

Специјални случај једначине (4) је:


\sum_{i=1}^3 \varepsilon_{ijk}\varepsilon_{imn} = \delta_{jm}\delta_{kn} - \delta_{jn}\delta_{km}

У Ајнштајновој нотацији индекс записан два пута значи сумацију по том индексу, па је једначина једноставнијега записа:  \varepsilon_{ijk}\varepsilon_{imn} = \delta_{jm}\delta_{kn} - \delta_{jn}\delta_{km}\,.

У н димензија[уреди]

\varepsilon_{i_1 \dots i_n} \varepsilon^{j_1 \dots j_n} = n! \delta_{[ i_1}{}^{j_1} \dots \delta_{i_n]}{}^{j_n}

 

 

 

 

(7)

\varepsilon_{i_1 \dots i_k~i_{k+1}\dots i_n} \varepsilon^{i_1 \dots i_k~j_{k+1}\dots j_n}= k!(n-k)!~\delta_{[ i_{k+1}}{}^{j_{k+1}} \dots \delta_{i_n]}{}^{j_n}

 

 

 

 

(8)

\varepsilon_{i_1 \dots i_n}\varepsilon^{i_1 \dots i_n} = n!

 

 

 

 

(9)

 \varepsilon_{i_1 i_2 \dots i_n} \varepsilon_{j_1 j_2 \dots j_n} = \begin{vmatrix}
\delta_{i_1 j_1} & \delta_{i_1 j_2} & \dots & \delta_{i_1 j_n} \\
\delta_{i_2 j_1} & \delta_{i_2 j_2} & \dots & \delta_{i_2 j_n} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
\delta_{i_n j_1} & \delta_{i_n j_2} & \dots & \delta_{i_n j_n} \\
\end{vmatrix} .

Примери[уреди]

Детерминанта матрице 3 × 3 може да се запише помоћу Леви-Чивита симбола:

\det(\mathbf{A}) = \sum_{i=1}^3 \sum_{j=1}^3 \sum_{k=1}^3 \varepsilon_{ijk} a_{1i} a_{2j} a_{3k}

На сличан начин може да се запише и детерминанта n × n матрице:

 \det(\mathbf{A}) = \varepsilon_{i_1\cdots i_n} a_{1i_1} \cdots a_{ni_n},

Векторски производ два вектора може да се напише као:


\mathbf{a \times b} =
 \begin{vmatrix} 
 \mathbf{e_1} & \mathbf{e_2} & \mathbf{e_3} \\
 a_1 & a_2 & a_3 \\
 b_1 & b_2 & b_3 \\
 \end{vmatrix}
= \sum_{i=1}^3 \sum_{j=1}^3 \sum_{k=1}^3 \varepsilon_{ijk} \mathbf{e}_i a^j b^k

или једноставније;


(\mathbf{a \times b})_i = \sum_{j=1}^3 \sum_{k=1}^3 \varepsilon_{ijk} a^j b^k.

Помоћу Ајнштајнове нотације добија се:

 (\mathbf{a\times b})^i = \varepsilon_{ijk} a^j b^k.

Прва компонента је онда:

(\mathbf{a\times b})^1 = a^2 b^3-a^3 b^2.

Исто тако добија се;

 \mathbf{a}\cdot(\mathbf{b\times c}) = \varepsilon_{ijk} a^i b^j c^k.

За ротор векторскога поља добијају се компоненте:

 (\nabla \times \mathbf{F})^i(\mathbf{x}) = \varepsilon^{ijk}\frac{\partial}{\partial x^j} F^k(\mathbf{x}),

Литература[уреди]

  • J.R. Tyldesley (1973). An introduction to Tensor Analysis: For Engineers and Applied Scientists. Longman. ISBN 0-582-44355-5