Леви-Чивита симбол

Из Википедије, слободне енциклопедије

Леви-Чивита симбол представља математички пермутациони симбол, који се користи у тензорском рачуну. Име је добио по италијанском математичару Тулију Леви-Чивити. У тродимензионалном простору означава се са . Називају га још и антисиметричним јединичним тензором.

Дефиниција у тродимензионалном простору[уреди]

У тродимензионалном простору дефинише се као:

Приказ Леви-Чивита симбола као 3×3×3 матрице

тј. је 1 ако (i, j, k) представља парну пермутацију бројева (1,2,3), једнак је −1 у случају непарних пермутација, а једнак је 0 у случају да се индекси понављају. Леви-Чивита симбол може да се напише и помоћу формуле:

Дефиниција у четвородимензионалном простору[уреди]

Дефиниција у четвородимензионалном простору је:

У n-димензионалном простору Леви-Чивита симбол је:

Поопштена формула може да се напише и као:

Својства[уреди]

У две димензије[уреди]

 

 

 

 

(1)

 

 

 

 

(2)

 

 

 

 

(3)

У три димензије[уреди]

 

 

 

 

(4)

 

 

 

 

(5)

 

 

 

 

(6)

Леви-Чивита симбол је повезан са Кронекеровим делта симболом:

Специјални случај једначине (4) је:

У Ајнштајновој нотацији индекс записан два пута значи сумацију по том индексу, па је једначина једноставнијега записа:

У н димензија[уреди]

 

 

 

 

(7)

 

 

 

 

(8)

 

 

 

 

(9)

.

Примери[уреди]

Детерминанта матрице 3 × 3 може да се запише помоћу Леви-Чивита симбола:

На сличан начин може да се запише и детерминанта n × n матрице:

Векторски производ два вектора може да се напише као:

или једноставније;

Помоћу Ајнштајнове нотације добија се:

Прва компонента је онда:

.

Исто тако добија се;

За ротор векторскога поља добијају се компоненте:

Литература[уреди]

  • J.R. Tyldesley (1973). An introduction to Tensor Analysis: For Engineers and Applied Scientists. Longman. ISBN 0-582-44355-5