Komplanarnost

U geometriji, komplanarnost je osobina skupa tačaka da se nalaze u istoj ravni. Tri tačke su uvek komplanarne a, ako nisu kolinearne, takođe jednoznačno definišu i ravan u kojoj se nalaze. Dodavanjem četvrte tačke skupu od tri nekolinearne tačke dolazi se u situaciju kada ona mora da zadovoljava određene uslove da bi sve četiri tačke bile komplanarne.

Načini utvrđivanja

Uzimaju se četiri različite i nekolinearne tačke A, B, C i D. Ako su najmanje dve od četiri tačke kolinearne, takođe su i komplanarne. Ako ima više od četiri tačke, uvek se mogu izabrati tri stalne i onda od ostalih uzimati jedna po jedna i testirati na komplanarnost s njima.

Pritom će stanje komplanarnosti označavati iskaz da tačke A, B, C i D pripadaju ravni α, koju formiraju tačke A, B i C:

$A,B,C,D\in \alpha \left(A,B,C\right)$

Linearna zavisnost

Ako su četiri tačke komplanarne, vektori koji se njima mogu formirati moraju biti linearno zavisni. Drugim rečima, ovo bi značilo da verktor ${\overrightarrow {AD}}$ može da se izrazi kao linearna kombinacija vektora ${\overrightarrow {AB}}$ i ${\overrightarrow {AC}}$:

${\overrightarrow {AD}}=\alpha {\overrightarrow {AB}}+\beta {\overrightarrow {AC}},\;\;\alpha ,\beta \in R$

Ovo isto važi i za druge kombinacije, tj. ${\overrightarrow {AB}}$ se može izraziti kao linearna kombinacija ${\overrightarrow {AC}}$ i ${\overrightarrow {AD}}$, a ${\overrightarrow {AC}}$ se može izraziti kao linearna kombinacija ${\overrightarrow {AB}}$ i ${\overrightarrow {AD}}$.

Preko zapremine definisanog paralelopipeda

Četiri tačke određuju tri vektora, što je dovoljno da bi se njima definisao jedan paralelopiped. Ako bi sve ove tačke ležale u jednoj ravni, to bi značilo da je njegova visina jednaka nuli. Dalja implikacija ove osobine bi bila da je i zapremina tog paralelopipeda jednaka nuli. Iz toga proizilazi da su tačke komplanarne ako je zapremina ovako određenog paralelopipeda jednaka nuli.

U trodimenzionom prostoru možemo se koristiti mešovitim proizvodom, koji je ekvivalent zapremine:

$\left[{\overrightarrow {AB}},{\overrightarrow {AC}},{\overrightarrow {AD}}\right]=0\Leftrightarrow \left({\overrightarrow {AB}}\times {\overrightarrow {AC}}\right){\overrightarrow {AD}}=0\Leftrightarrow A,B,C,D\in \alpha \left(A,B,C\right)$

Ta zavisnost se takođe može izraziti kroz uslov vrednosti determinante:

${\begin{vmatrix}A_{x}&A_{y}&A_{z}&1\\B_{x}&B_{y}&B_{z}&1\\C_{x}&C_{y}&C_{z}&1\\D_{x}&D_{y}&D_{z}&1\\\end{vmatrix}}=0\Leftrightarrow A,B,C,D\in \alpha \left(A,B,C\right)$

To se takođe može izraziti kroz uslov za determinantu vektora koje obrazuju ove tačke:

${\begin{vmatrix}a_{x}&a_{y}&a_{z}\\b_{x}&b_{y}&b_{z}\\c_{x}&c_{y}&c_{z}\\\end{vmatrix}}=0\Leftrightarrow A,B,C,D\in \alpha \left(A,B,C\right)$

Pri čemu su upotrebljeni vektori:

${\overrightarrow {a}}={\overrightarrow {AB}},\;{\overrightarrow {b}}={\overrightarrow {AC}},\;{\overrightarrow {c}}={\overrightarrow {AD}}$