Компланарност
У геометрији, компланарност је особина скупа тачака да се налазе у истој равни. Три тачке су увек компланарне а, ако нису колинеарне, такође једнозначно дефинишу и раван у којој се налазе. Додавањем четврте тачке скупу од три неколинеарне тачке долази се у ситуацију када она мора да задовољава одређене услове да би све четири тачке биле компланарне.
Начини утврђивања
[уреди | уреди извор]Узимају се четири различите и неколинеарне тачке A, B, C и D. Ако су најмање две од четири тачке колинеарне, такође су и компланарне. Ако има више од четири тачке, увек се могу изабрати три сталне и онда од осталих узимати једна по једна и тестирати на компланарност с њима.
Притом ће стање компланарности означавати исказ да тачке A, B, C и D припадају равни α, коју формирају тачке A, B и C:
Линеарна зависност
[уреди | уреди извор]Ако су четири тачке компланарне, вектори који се њима могу формирати морају бити линеарно зависни. Другим речима, ово би значило да верктор може да се изрази као линеарна комбинација вектора и :
Ово исто важи и за друге комбинације, тј. се може изразити као линеарна комбинација и , а се може изразити као линеарна комбинација и .
Преко запремине дефинисаног паралелопипеда
[уреди | уреди извор]Четири тачке одређују три вектора, што је довољно да би се њима дефинисао један паралелопипед. Ако би све ове тачке лежале у једној равни, то би значило да је његова висина једнака нули. Даља импликација ове особине би била да је и запремина тог паралелопипеда једнака нули. Из тога произилази да су тачке компланарне ако је запремина овако одређеног паралелопипеда једнака нули.
У тродимензионом простору можемо се користити мешовитим производом, који је еквивалент запремине:
Та зависност се такође може изразити кроз услов вредности детерминанте:
То се такође може изразити кроз услов за детерминанту вектора које образују ове тачке:
При чему су употребљени вектори:
Референце
[уреди | уреди извор]- ^ Чланак о копланарности, на mathworld.wolfram.com, Приступљено 9. 4. 2013.