Opšti logaritmi[uredi | uredi izvor]

U matematici, opšti logaritam je logaritam sa bazom 10. ^[1] Poznat je i kao dekadni logaritam i kao decimalni logaritam, nazvan po svojoj bazi, ili Brigsijev logaritam, posle Henrija Brigsa, engleskog matematičara koji je uveo njegovu upotrebu, kao i standardni logaritam. Istorijski, bio je poznat kao logarithmus decimalis ^[2] ili logarithmus decadis. ^[3] Označen je sa log₁₀(x), ili ponekad sa Log(x) sa glavnim L (međutim, ova notacija je dvosmislena, jer može značiti i kompleksnu prirodnu logaritamsku višestruku funkciju). Na kalkulatorima je obično "log", ali matematičari obično misle na prirodni logaritam (logaritam sa bazom e ≈ 2.71828), a ne na opšti logaritam kada pišu "log". Da bi se ublažila ova dvosmislenost, specifikacija ISO 80000 preporučuje da log₁₀(x) bude označen kao lg(x), a log_e(x) treba da bude kao ln(x).

Korišćenje[uredi | uredi izvor]

Pre ranih 1970tih, ručni elektronski kalkulatori nisu bili dostupni i mehanički kalkulatori koji su bili sposobni za množenje bili su glomazni, skupi i nisu bili široko dostupni. Umesto toga, tabele logaritama sa osnovom-10 su korišćene u nauci, inženjerstvu i navigaciji kada su proračuni zahtijevali veću preciznost nego što bi se moglo postići pomoću kliznog pravila. Korišćenjem logaritama izbegnuto je mukotrpno i pogrešno umnožavanje papira i olovaka i podela. Pošto su logaritmi bili tako korisni, tabele sa osnovom-10 logaritama su date u prilozima mnogih udžbenika. Matematički i navigacioni priručnici sadrže i tabele logaritama trigonometrijskih funkcija.^[4] Pogledajte log tabelu za istoriju takvih tabela.

Važno svojstvo logaritama sa osnovom-10, što ih čini tako korisnim u kalkulacijama, je da logaritam brojeva većeg od 1 koji se razlikuju za faktor snage od 10 imaju isti frakcijski deo. Frakcioni deo je poznat kao mantisa^{[note 1]}. Stoga log tabele moraju samo pokazati frakcijski deo. Tabele zajedničkih logaritama tipično navode mantisu, na četiri ili pet decimalnih mesta ili više, svakog broja u opsegu, npr. 1000 do 9999. Takav opseg bi pokrivao sve moguće vrednosti mantise.

Celobrojni deo, koji se naziva karakteristika, može se izračunati tako što se broji koliko mesta decimalnu tačku treba pomeriti tako da se nalazi desno od prve značajne cifre. Na primer, logaritam od 120 dat je sledećim proračunom:

\log _{10}(120)=\log _{10}\left(10^{2}\times 1.2\right)=2+\log _{10}(1.2)\approx 2+0.07918.

Poslednji broj (0.07918) - frakcijski deo ili mantisa zajedničkog logaritma 120 - može se naći u prikazanoj tabeli. Lokacija decimalne tačke u 120 govori nam da je celobrojni deo zajedničkog logaritma od 120, karakteristika, 2.Brojevi veći od 0 i manji od 1 imaju negativne logaritme. Na primer,

\log _{10}(0.012)=\log _{10}\left(10^{-2}\times 1.2\right)=-2+\log _{10}(1.2)\approx -2+0.07918=-1.92082.

Da bi se izbegla potreba za odvojenim tabelama za konvertovanje pozitivnih i negativnih logaritama nazad u njihove prvobitne brojeve, koristi se oznaka bara:

\log _{10}(0.012)\approx -2+0.07918={\bar {2}}.07918.

Šipka iznad karakteristike pokazuje da je negativna, dok mantisa ostaje pozitivna. Prilikom očitavanja broja na glas, simbol "bar 2 tačka 07918…".

Sledeći primer koristi notaciju bara za izračunavanje 0.012 × 0.85 = 0.0102:

{\begin{array}{rll}{\text{Kao što je gore navedeno,}}&\log _{10}(0.012)\approx {\bar {2}}.07918\\{\text{Kada je}}\;\;\log _{10}(0.85)&=\log _{10}\left(10^{-1}\times 8.5\right)=-1+\log _{10}(8.5)&\approx -1+0.92942={\bar {1}}.92942\\\log _{10}(0.012\times 0.85)&=\log _{10}(0.012)+\log _{10}(0.85)&\approx {\bar {2}}.07918+{\bar {1}}.92942\\&=(-2+0.07918)+(-1+0.92942)&=-(2+1)+(0.07918+0.92942)\\&=-3+1.00860&=-2+0.00860\;^{*}\\&\approx \log _{10}\left(10^{-2}\right)+\log _{10}(1.02)&=\log _{10}(0.01\times 1.02)\\&=\log _{10}(0.0102).\end{array}}

*Ovaj korak čini mantisu između 0 i 1, tako da se njegov antilog (10^mantissa) može pogledati.

Sledeća tabela pokazuje kako se ista mantisa može koristiti za raspon brojeva koji se razlikuju po moćima od deset:

Zajednički logaritam, karakteristika i mantisa moći od 10 puta broj
Broj	Logaritam	Karakteristika	Mantisa	Combined form
n = 5 × 10ⁱ	log₁₀(n)	i = floor(log₁₀(n))	log₁₀(n) − i
5 000 000	6.698 970…	6	0.698 970…	6.698 970…
50	1.698 970…	1	0.698 970…	1.698 970…
5	0.698 970…	0	0.698 970…	0.698 970…
0.5	−0.301 029…	−1	0.698 970…	1.698 970…
0.000 005	−5.301 029…	−6	0.698 970…	6.698 970…

Imajte na umu da je mantisa zajednička za sve $5\times 10^{i}$ ovo važi za bilo koji pozitivan realni broj $x$ zbog

\log _{10}\left(x\times 10^{i}\right)=\log _{10}(x)+\log _{10}\left(10^{i}\right)=\log _{10}(x)+i.

Pošto je i $i$ uvek ceo broj, mantasia dolazi od $\log _{10}(x)$ , koja je konstantna za dati . Ovo omogućava tabeli logaritama da uključe samo jedan unos za svaku mantisu. U primjeru $5\times 10^{i}$ , 0.698 970 (004 336 018…) će biti popisani jednom indeksirani sa 5 (ili 0.5, ili 500, itd.).

Istorija[uredi | uredi izvor]

Opšti logaritmi se ponekad nazivaju i "Brigsijanovim logaritmima" nakon Henrija Brigsa, britanskog matematičara iz 17. veka. 1616. i 1617. godine, Brigs je posetio Džona Nepera, pronalazača onoga što se sada zove prirodni (baza-e) logaritmi u Edinburgu, kako bi predložili promenu u Neperovim logaritmima. Tokom ovih konferencija dogovorena je izmena koju je predložio Brigs; a nakon povratka iz druge posete, objavio je prvih 1000 svojih logaritama.

Pošto su logaritmi sa bazom 10 bili najkorisniji za računanje, inženjeri su uglavnom pisali " $\log(x)$ " kada su mislili na $\log _{10}(x)$ . Matematičari su, s druge strane, pisali " $\log(x)$ " kada su mislili na $\log _{e}(x)$ za prirodni logaritam. Danas se nalaze obe oznake. Pošto su ručni elektronski kalkulatori projektovani od strane inženjera, a ne matematičara, postalo je uobičajeno da prate oznake inženjera. Dakle, notacija, prema kojoj se piše "ln(x)" kada je prirodni logaritam namenjen, možda je dalje popularizovana samim pronalaskom koji je koristio "opšte logaritme" daleko manje uobičajene, elektronske kalkulatore.

Numerička vrednost[uredi | uredi izvor]

Numerička vrednost za logaritam na bazu 10 može se izračunati sa sledećim identitetom.

$\log _{10}(x)={ln(x) \over ln(10)}$ ili $\log _{10}(x)={\log _{2}(x) \over \log _{2}(10)}$

jer procedure postoje za određivanje numeričke vrednosti za logaritamsku osnovu e i logaritamsku osnovu 2.

Prirodni logaritam

logaritam

Vidite još[uredi | uredi izvor]

Cologaritam

Decibel

Istorija logaritma

Log tablica

Broj sa pomičnim zarezom

Napomene[uredi | uredi izvor]

^ This use of the word mantissa stems from an older, non-numerical, meaning: a minor addition or supplement, e.g., to a text. Nowadays, the word mantissa is generally used to describe the fractional part of a floating-point number on computers, though the recommended term is significand.

Reference[uredi | uredi izvor]

^ Hall, Arthur Graham; Frink, Fred Goodrich (јануар 1909). „Chapter IV. Logarithms [23] Common logarithms”. Написано на Ann Arbor, Michigan, USA. Trigonometry. Part I: Plane Trigonometry. New York, USA: Henry Holt and Company / Norwood Press / J. S. Cushing Co. - Berwick & Smith Co., Norwood, Massachusetts, USA. стр. 31. Приступљено 2017-08-12.
^ Euler, Leonhard; Speiser, Andreas; du Pasquier, Louis Gustave; Brandt, Heinrich; Trost, Ernst (1945) [1748]. Speiser, Andreas, ур. Introductio in Analysin Infinitorum (Part 2). Opera Omnia, Opera Mathematica. 1 (на језику: Latin). 9. B.G. Teubner.
^ Scherffer, P. Carolo (1772). Institutionum Analyticarum Pars Secunda de Calculo Infinitesimali Liber Secundus de Calculo Integrali (на језику: Latin). 2. Joannis Thomæ Nob. De Trattnern. стр. 198.
^ Hedrick, Earle Raymond (1913). Logarithmic and Trigonometric Tables. New York, USA: Macmillan.

Abramowitz, Milton; Stegun, Irene Ann (1983) [June 1964]. Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables. Applied Mathematics Series 55 (Ninth reprint with additional corrections of tenth original printing with corrections (December 1972); first ed.). Washington D.C.; New York: United States Department of Commerce, National Bureau of Standards; Dover Publications. ISBN 978-0-486-61272-0. LCCN 65-12253.
Möser, Michael (2009). Engineering Acoustics: An Introduction to Noise Control. Springer. стр. 448. ISBN 978-3-540-92722-8.
Poliyanin, Andrei Dmitrievich; Manzhirov, Alexander Vladimirovich (2007) [2006-11-27]. Handbook of mathematics for engineers and scientists. CRC Press. стр. 9. ISBN 978-1-58488-502-3.

Eksterni linkovi[uredi | uredi izvor]

„Briggsian logarithms”. PlanetMath. includes a detailed example of using logarithm tables

[5] This use of the word mantissa stems from an older, non-numerical, meaning: a minor addition or supplement, e.g., to a text. Nowadays, the word mantissa is generally used to describe the fractional part of a floating-point number on computers, though the recommended term is significand.

[Hall_1909-1] Hall, Arthur Graham; Frink, Fred Goodrich (јануар 1909). „Chapter IV. Logarithms [23] Common logarithms”. Написано на Ann Arbor, Michigan, USA. Trigonometry. Part I: Plane Trigonometry. New York, USA: Henry Holt and Company / Norwood Press / J. S. Cushing Co. - Berwick & Smith Co., Norwood, Massachusetts, USA. стр. 31. Приступљено 2017-08-12.

[Euler_1748-2] Euler, Leonhard; Speiser, Andreas; du Pasquier, Louis Gustave; Brandt, Heinrich; Trost, Ernst (1945) [1748]. Speiser, Andreas, ур. Introductio in Analysin Infinitorum (Part 2). Opera Omnia, Opera Mathematica. 1 (на језику: Latin). 9. B.G. Teubner.

[Scherffer_1772-3] Scherffer, P. Carolo (1772). Institutionum Analyticarum Pars Secunda de Calculo Infinitesimali Liber Secundus de Calculo Integrali (на језику: Latin). 2. Joannis Thomæ Nob. De Trattnern. стр. 198.

[Hedrick_1913-4] Hedrick, Earle Raymond (1913). Logarithmic and Trigonometric Tables. New York, USA: Macmillan.

[1]

[2]

[3]

[4]

[note 1]