Тригонометријске функције

Из Википедије, слободне енциклопедије

Тригонометријске функције су функције угла. Добиле су име по грани математике која их користи за решавање троуглова, а која се назива тригонометрија.

Када је угао, дакле аргумент ових функција реалан број, тада су то функције равнинске тригонометрије: синус и косинус, од којих се изводе све остале. Од осталих основних функција угла често су у употреби тангенс, па и котангенс, затим, мало ређе се срећу косеканс и секанс, и коначно најређе синус версус и косинус версус. Када је угао комплексан број тада функције угла могу прећи у хиперболичке функције.

Инверзне тригонометријске функције зову се циклометријске функције и аркус-функције, тј. функција-1.

Дефиниције[уреди]

Сл.1. Тригонометријски троугао

Основне тригонометријске функције синус, косинус и тангенс се обично дефиншу помоћу правоуглог троугла, слика десно.

Позитиван математички угао има супротан смер од казаљке на сату, слично као и кретање Сунца у односу на сунчеву сенку на слици 2.

Kretanje-sunca.gif

Тригонометријска кружница[уреди]

На слици (3) доле је кружница полупречника један са центром у исходишту, тј. која се зове тригонометријска кружница. У следећој дефиницији и теореми (1), тангенс и котангенс (б) се у англосаксонским земљама означавају tan и cot, косеканс (в) се и код нас означава cosec.

Сл.3. Тригонометријска кружница
Дефиниција 1
Тригонометријске реалне функције угла φ дефинишу се једнакостима
(а) синус и косинус су реални бројеви;
(б) тангенс и котангенс;
(в) секанс и косеканс.
(г) косинус версус и синус версус.

Функције (в), а нарочито (г) ретко срећемо.

Теорема 1
(а) косинус и синус;
(б) тангенс и котангенс;
(в) секанс и косеканс.
Доказ
Тачка Т са слике 1. овде (сл.2.) је тачка D.
(а) Следи непосредно због полупречника r = 1.
(б) Уочимо сличне троуглове одакле тј. уочимо сличне троуглове одатле тј.
(в) Из истих сличних троуглова (б) добијамо тј. затим тј. Крај доказа.

Посебни углови[уреди]

Овде ће бити анлизиране особине вредности тригонометријских функција за посебне углове.

Предзнак[уреди]

На претходној слици (3) представљен је Декартов правоугли систем координата и тачка D на тригонометријској кружници. Угао BOD = φ може неограничено расти док покретни крак угла (OD) пролази редом кроз први, други, трећи и четврти квадрант, а затим поново по истом кругу. Дакле, угао φ може расти до 360° и даље. При томе се пројекције тачке D на апсцису и ординату увек рачунају као косинус и синус угла φ. То значи да је косинус позитиван када је тачка D у првом и четвртом квадранту, а да је синус позитиван када је тачка D у првом и другом квадранту. Детаљно то видимо у следећој табели:

Тригонометријске функције по квадрантима
Квадрант 1. (0°-90°) 2. (90°-180°) 3. (180°-270°) 4. (270°-360°)
синус + + - -
косинус + - - +
тангенс + - + -

Свођење на први квадрант[уреди]

Лако је преко тригонометријске кружнице или адиционих формула проверити тачност формула за свођење вредности тригонометријских функција на функције углова из првог квадранта:

Функције косинус и синус су периодичне са основним периодом 360°, a функција тангенс је периодична са периодом 180°:

Период синусне и косинусне функције може се наћи из формуле:

Тако је период функције једнак , односно .

Функције углове већих од 360 степени претходним формулама се своде на функције мањих углова, а затим даље, ако је потребно, на први квадрант, на начин видљив у следећој табели:

У општем случају то се може записати овако:

Притом је f — произвољна тригонометријска функција, g — одговарајућа јој функција (косинус за синуса, синус для косинус и аналогно за остале функције), а nцео број.

Вредности тригонометријских функција[уреди]

Вредности тригонометријских функција приказане на тригонометријској кружници

За неке од углова из првог квадранта се функције лакше израчунавају:

Најчешће вредности тригонометријских функција
30° 45° 60° 90°
0 1
1 0
0 1

Један од начина израчунавања ових вредности је приказан у прегледу основних углова. Из табеле се види да су већ код „основних“ углова тригонометријске функције ирационални бројеви и да би слични изрази за друге углове могли бити још сложенији. Једноставнији од тих сложенијих израза био би, на пример и то је најмањи угао чији се синус може представити писањем просте алгебарске комбинације рационалних бројева и коренова. Вековима су тригонометријске вредности записиване у тригонометријске таблице, на 5 до 10 децимала, a у последње време користи се скоро искључиво рачунар или калкулатор.

Вредности тригонометријских функција неких углова које се нешто дужим путем израчунавају дати су у следећој табели:

Када тачка D једном обиђе кружницу пређе пут 2π односно направи 360°. Лук дужине π одговара углу 180° - испружени угао, π/2 је 90° - прави угао, π/3 је 60°, π/4 је 45°, π/6 је 30°, и уопште лук дужине x радијана одговара углу 360x/2π степени. За један радијан, х = 1, добија се угао 57,2957795... степени, тј. у степенима, минутама и секундама 57°17'44,8". Један степен има 60 минута, а једна минута има 60 секунди. Изрази минуте и секунде потичу од латинских речи: partes minutae primae и partes minutae secundae, тј. први мали делови и други мали делови. Математички текстови за јединицу угла подразумевају радијан.

Редови[уреди]

Тригонометријске функције се, такође, могу представљати (бесконачним) редовима:

Ови редови се могу употребити и за дефинисање тригонометријских функција комплексног броја z, и хиперболичких функција.

Имајући у виду једнакости и у Тејлоров ред се могу разложити следеће функције:

Графици[уреди]

Тригонометријске функције се могу графички представити. На следећим сликама су приказани њихови графици:

Sine cosine plot.svg
Графици тригонометријских функција: синуса, косинуса, тангенса, секанса, косеканса, котангенса

Парност[уреди]

Косинус и секанс су парне функције, док су преостале четири непарне функције:

Гранична вредност[уреди]

Сл.4. Тетива је краћа од лука

На слици (4) лево видимо тетиву која је сигурно краћа од лука Тетива је најкраће растојање између две тачке на кружници. Зато је полутетива краћа од полулука Троугао OAD, са оштрим углом φ је правоугли. Прави угао је у темену А, катета ОА износи , катета DA износи , хипотенуза је дужине један. Када је угао у радијанима и тада је

Теорема 1

Доказ: Следи из и Крај.

Када угао тежи нули преко позитивних вредности, синус је тада позитиван, а негативан је када угао тежи нули преко негативних вредности. Напротив, косинус је у оба случаја позитиван. Из тога произилазе лимеси за котангенс: Заменом х са комплементним углом добићете одговарајуће лимесе за тангенс.

Сл.5. Тригонометријски круг
Теорема 2
Доказ
На слици (5) десно, површина правоуглог троугла OAD мања је од површине кружног исечка OBD, а ова опет мања од површине правоуглог троугла OBE. Назовимо са х угао BOE. Отуда Поделимо ли ове неједнакости са (позитивним) добићемо а отуда Са вреди па је Синус је парна функција па је доказ за негативне углове исти. Крај доказа.

Извод[уреди]

Извод функције f(x) по дефиницији је гранична вредност:

Теорема 3
(а)
(б)
(в)
(г)
Доказ
(а) па је
када (теорема 2).
(б) Због биће
(в) Извод количника
(г) Извод количника
Крај доказа 3.

Интеграли тригонометријских функција[уреди]

За више информација погледајте: Списак интеграла тригонометријских функција

Интеграли неких тригонометријских функција приказани су овде:

Друге особине[уреди]

Преглед скоро свих особина тригонометријских функција које се тичу решавања троуглова дат је у прилогу: равнинска тригонометрија. У посебном прилогу могу се пронаћи докази за адиционе формуле, где спадају и формуле за двоструке углове, затим половине углова, те представљање збира и разлике тригонометријских функција помоћу производа и обратно, и изражавање осталих тригонометријских функција помоћу тангенса половине угла. Такође, у посебном прилогу се налазе тригонометријске једначине.

Тригонометријске функције као решења диференцијалних једначина[уреди]

Тригонометријске функције косинус и синус могу се представити као решења диференцијалне једначине:

са почетним условом .

Тригонометријске функције као решења функционалних једначина[уреди]

Функције косинус и синус се могу одредити као непрекидна решења система функционалних једначина:

Инверзне тригонометријске функције[уреди]

За више информација погледајте: Инверзне тригонометријске функције

Инверзне тригонометријске функције су arcsin x (аркус синус икс), arccos x (аркус косинус), arctg x (аркус тангенс), arcctg x (аркус котангенс). Оне су инверзне тригонометријским функцијама sin x (синус икс), cos x (косинус), tg x (тангенс), ctg x (котангенс). Префикс аркус потиче од латинске речи arcus - лук, угао. Називају се још и циклометријским функцијама.

Примена у физици[уреди]

Примена тригонометрије и тригонометријских функција у физици је јако велика. Тако се на пример прилично користе у анализи простирања таласа, описивању хармонијских осцилација као периодичног кретања, представљања наизменичне струје итд.

Види још[уреди]