Kristofelovi simboli

Iz Vikipedije, slobodne enciklopedije
Idi na: navigaciju, pretragu
Paralelni transport na sferi

Kristofelovi simboli u diferencijalnoj geometriji predstavljaju koeficijente koji opisuju paralelni transport u krivolinijskim koordinatnim sistemima. Dobili su ime po nemačkom matematičaru Elvinu Brunu Kristofelu. Kristofelovi simboli prve vrste označavaju se sa a simboli druge vrste sa . U celom tekstu koristi se Ajnštajnova konvencija da se sumira po indeksima koji se pojavljauju više puta.


Paralelni transport[uredi]

Slika 1.

Kada u krivolinijskom sistemu oduzimamo dva vektora pored uobičajene razlike dva vektora u pravougaonom sistemu imamo i dodatnu razliku zbog paralelnoga transporta jednoga vektora do drugoga. Neka u vektor ima vrednost a u nekoj tački vrednost Ako vektor transportujemo do on se zbog paralelnoga transporta u krivolinijskim koordinatama promeni za Ukupna razlika dva vektora postaje onda:

Paralelni transport zavisan je od Kristofelovih simbola:

Tu se koristi Ajnštajnova konvencija da se sumira po indeksima koji se pojavljauju više puta.

Slika 2.

Primer u polarnom sistemu[uredi]

Uzmimo polarni koordinatni sistem u kome se tačka nalazi na udaljenosti i pod uglom Neka vektor ima koordinate , odnosno nalazi se na udaljenost od centra i iz centra se vidi pod uglom . Prepostavimo da se veltor premešta iz jedne u drugu tačku. Njegove komponente se ne mjenjaju u pravougaonom koordinatnom sistemu. U polarnom sistemu vektora ostaje iste veličine jer veličina vektora na jednom mestu je:

a na drugom je:

pa se dobija:

Paralelan transport duž luka[uredi]

Tokom translacije duž luka menjaju se obe koordinate, pa sa slike 2 vidimo da je: , , i pa je:

Osim toga pošto je , , i , onda je

Označimo li:, , i onda se iz formule, u kojoj je konvencija da se sumira po indeksima koji se pojavljauju dva ili više puta

mogu dobiti Kristofelovi simboli kao: , , a svi ostali su nula.

Kristofelovi simboli prve i druge vrste[uredi]

Kristofelovi simboli prve i druge vrste povezani su sledećom relacijom:

Kristofelovi simboli povezani su sa metričkim tenzorom. Ako znamo metrički tenzor za neki krivolinijski sistem tada se Kristofelovi simboli druge vrste mogu potpuno predstaviti preko odgovarajućega matričkoga tenzora:

a tu je kontravarijantni prikaz metričkoga tenzora, a predstavlja kovarijantan prikaz metričkoga tenzora, a povezani su izrazom . Kristofelovi simboli prve vrste dadu se prikazati kao:

Kristofelovi simboli su simetrični po donjim indeksima;

S druge strane kovarijantan izvod metričkoga tenzora može se prikazati preko Kristofelovih simbola:

U nekim sistemima[uredi]

Za sferni koordinatni sistem komponente metričkoga tenzora su , , , , . pa su Kristofelovi simboli dani sa:

Za cilindrični koordinatni sistem simboli su:

Kovarijantan izvod[uredi]

Preko Kristofelovih simbola prikazuje se kovarijantan izvod tenzora: Kovarijantni izvod tenzorskoga polja je

tj.

Za mešano tenzorsko polje imamo:

a za tenzorsko polje polje tipa (0,2) kovarijantan izvod je:

Kovarijantni izvod za neki tenzor tipa (n, m) je:

Kontrakcija[uredi]

Koristi se Ajnštajnova konvencija da se sumira po indeksima koji se pojavljauju više puta. Kontrakcijom Kristofelovih simbola odnosno sumacijom po indeksu, koji se ponavlja dobija se:

i

Tu je |g| determinanta od , odnosno kovarijantnoga prikaza metričkoga tenzora. S druge strane označava kontravarijantni prikaz metričkoga tenzora, a dva prikaza tenzora povezana su izrazom .

Transformacija[uredi]

Pri transformaciji jednoga sistema u drugi , vektori baze se kovarijantno transformišu:

pa se dobija formula transformacije Kristofelovih simbola:

Literatura[uredi]

  • Kristofelov simbol
  • Kobayashi, Shoshichi and Nomizu, Katsumi (1996 (New edition)). Foundations of Differential Geometry, Vol. 1. Wiley Interscience. ISBN 0-471-15733-3
  • Sternberg, Shlomo (1964). Lectures on Differential Geometry. Prentice-Hall