Lijuvilova teorema (kompleksna analiza)

Lijuvilova teorema je teorema iz oblasti kompleksne analize. Ona glasi: ako je funkcija $f$ holomorfna nad cijelim skupom kompleksnih brojeva ($f\in H(\mathbb {C} )$ i ograničena, tada je ona identički konstanta, tj. $f\equiv const$.

Dokaz

Neka je $K_{R}=\{z||z-0|<R\}$ krug sa poluprečnikom $R$ i centrom u nuli. Kako je funkcija holomorfna u $\mathbb {C}$, ona je holomorfna i unutar $K_{R}$, pa možemo da je razvijemo u Tejlorov red:

$f(z)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}(z-0)^{n},\forall z\in K_{R}$

$a_{n}={\frac {1}{2\pi {\rm {i}}}}\int _{|\xi -0|=R}{\frac {f(\xi )}{(\xi -0)^{n+1}}}$

Kako je $f$ ograničena, onda postoji $M>0$ tako da je $|f(z)|\leq M,\forall z\in \mathbb {C}$. Zato važe Košijeve nejednakosti:

$|a_{n}|\leq {\frac {M}{R^{n}}}$.

Odatle:

$n\neq 0:{\frac {M}{R^{n}}}\rightarrow 0,R\rightarrow \infty \Rightarrow |a_{n}|\rightarrow 0$. (pustili smo da $R\rightarrow \infty$ jer će jednačina biti ista za ma koliko veliko $R$).

$n=0:{\frac {M}{R^{n}}}={\frac {M}{R^{0}}}={\frac {M}{1}}=M\not \rightarrow 0$

Pošto su svi koeficijenti u Tejlorovom razvoju jednaki nuli, osim koeficijenta $a_{0}$, slijedi da je:

$f(z)=a_{0}\Rightarrow f(z)\equiv const$.