Лијувилова теорема (комплексна анализа)

Из Википедије, слободне енциклопедије

Лијувилова теорема је теорема из области комплексне анализе. Она гласи: ако је функција холоморфна над цијелим скупом комплексних бројева ( и ограничена, тада је она идентички константа, тј. .

Доказ[уреди]

Нека је круг са полупречником и центром у нули. Како је функција холоморфна у , она је холоморфна и унутар , па можемо да је развијемо у Тејлоров ред:

Како је ограничена, онда постоји тако да је . Зато важе Кошијеве неједнакости:

.

Одатле:

. (пустили смо да јер ће једначина бити иста за ма колико велико ).

Пошто су сви коефицијенти у Тејлоровом развоју једнаки нули, осим коефицијента , слиједи да је:

.