Лијувилова теорема (комплексна анализа)

У комплексној анализи, Лиувилова теорема је теорема названа по Жозефу Лиувилу (иако је ову теорему први доказао Коши 1844.^[1]). Она тврди да свака ограничена читава функција мора бити константна. Односно, свака холоморфна функција $f$ за коју постоји позитиван број $M$ такав да $|f(z)|\leq M$ за све $z\in \mathbb {C}$ је константна. Еквивалентно, неконстантне холоморфне функције на $\mathbb {C}$ имају неограничене слике.

Теорема је знатно побољшана Пикаровом малом теоремом, која каже да свака читава функција чија слика изоставља два или више комплексних броја мора бити константна.

Тврђење теореме

Лиувилова теорема: Свака холоморфна функција $f:\mathbb {C} \to \mathbb {C}$ за коју постоји позитиван број $M$ такав да $|f(z)|\leq M$ за све $z\in \mathbb {C}$ је константна.

Једноставније речено, Лиувилова теорема тврди да свака ограничена читава функција мора бити константна.

Доказ

Ова важна теорема има више доказа.

Стандардни аналитички доказ користи чињеницу да су холоморфне функције аналитичке.

Доказ

Ако је $f$ читава функција, она се може представити својим Тејлоровим редом око 0:

f(z)=\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}z^{k}

где су (према Кошијевој интегралној формули)

a_{k}={\frac {f^{(k)}(0)}{k!}}={1 \over 2\pi i}\oint _{C_{r}}{\frac {f(\zeta )}{\zeta ^{k+1}}}\,d\zeta

и $C_{r}$ је круг око 0 полупречника $r>0$ . Претпоставимо да је $f$ ограничена: односно да постоји константа $M$ таква да $|f(z)|\leq M$ за све $z$ . Можемо директно да проценимо

|a_{k}|\leq {\frac {1}{2\pi }}\oint _{C_{r}}{\frac {|f(\zeta )|}{|\zeta |^{k+1}}}\,|d\zeta |\leq {\frac {1}{2\pi }}\oint _{C_{r}}{\frac {M}{r^{k+1}}}\,|d\zeta |={\frac {M}{2\pi r^{k+1}}}\oint _{C_{r}}|d\zeta |={\frac {M}{2\pi r^{k+1}}}2\pi r={\frac {M}{r^{k}}},

где смо у другој неједнакости користили чињеницу да је $|z|=r$ на кругу $C_{r}$ . (Ова процена је позната као Кошијева процена.) Међутим, избор за $r$ у горњем је произвољан позитиван број. Према томе, ако пустимо да $r$ тежи бесконачности (пустимо да $r$ тежи бесконачности јер је $f$ аналитичка на целој равни), добијамо $a_{k}=0$ за све $k\geq 1$ . Дакле, $f(z)=a_{0}$ , што доказује теорему.

Још један доказ користи својство средњих вредности хармонијских функција.

Proof

Template:Math proof Error caused by a symbol in proof: use proof parameter

Доказ се може прилагодити случају када је хармонијска функција $f$ само ограничена одагоре или одоздо. Види Хармонијска функција#Лиувилова теорема.

Још један приступ за доказ теореме је

Доказ^[2]

Претпоставимо да $|f(z)|\leq M$ за све $z$ у комплексној равни. Тада можемо применити Кошијеву процену на диск са центром у било којој тачки $z_{0}$ и произвољног полупречника $\rho$ да добијемо: $|f'(z)|\leq {\frac {M}{\rho }}$ .

Нека $\rho$ тежи $+\infty$ , добијамо $f'(z)=0$ . Пошто ово важи за све $z_{0}$ , $f(z)=c$ (за неку константу $c$ ), што значи да је $f$ константна функција.

Последице

Основна теорема алгебре

Постоји кратак доказ основне теореме алгебре који користи Лиувилову теорему.^[3]

Доказ (Основна теорема алгебре)

Претпоставимо, ради добијања контрадикције, да постоји неконстантан полином $p$ без комплексног корена. Приметимо да $|p(z)|\to \infty$ када $z\to \infty$ . Узмимо довољно велику куглу $B(0,R)$ ; за неку константу $M$ постоји довољно велики $R$ такав да је $1/|p(z)|<1$ за све $z\not \in B(0,R)$ .

Пошто $p$ нема коренова, функција $q(z)=1/p(z)$ је читава и холоморфна унутар $B(0,R)$ , и према томе је такође непрекинута на њеном затвору ${\overline {B}}(0,R)$ . Према теореми о екстремалним вредностима, непрекидна функција на затвореном и ограниченом скупу достиже своје екстремалне вредности, што имплицира да $1/|p(z)|\leq C$ за неку константу $C$ и $z\in {\overline {B}}(0,R)$ .

Дакле, функција $q(z)$ је ограничена на $\mathbb {C}$ , па је према Лиувиловој теореми, константна, што је у супротности са нашем претпоставком да је $p$ неконстантан.

Ниједна читава функција не доминира другом целом функцијом

Последица теореме је да се "заиста различите" целе функције не могу међусобно доминирати, тј. ако су $f$ и $g$ целе функције и $|f|\leq |g|$ свуда, онда је $f=\alpha g$ за неки комплексан број $\alpha$ . Посматрајмо случај када је $g=0$ : тада је теорема тривијална, па претпостављамо $g\neq 0$ . Размотримо функцију $h=f/g$ . Довољно је доказати да се $h$ може проширити до целе функције, при чему резултат следи из Лиувилове теореме. Холоморфност $h$ је јасна свуда осим у тачкама из $g^{-1}(0)$ . Међутим, пошто је $h$ ограничена, а сви нултоуци од $g$ су изоловане тачке, сва сингуларности морају бити отклоњиве. Дакле, $h$ се може проширити до ограничене целе функције, што према Лиувиловој теореми имплицира да је константна.

Ако је f мање или једнако скалару помноженом са улазом, онда је линеарна Претпоставимо да је $f$ цела функција и да $|f(z)|\leq M|z|$ , за неко $M>0$ . Можемо применити Кошијеву интегралну формулу; имамо да је

|f'(z)|={\frac {1}{2\pi }}\left|\oint _{C_{r}}{\frac {f(\zeta )}{(\zeta -z)^{2}}}d\zeta \right|\leq {\frac {1}{2\pi }}\oint _{C_{r}}{\frac {|f(\zeta )|}{\left|(\zeta -z)^{2}\right|}}|d\zeta |\leq {\frac {1}{2\pi }}\oint _{C_{r}}{\frac {M|\zeta |}{\left|(\zeta -z)^{2}\right|}}\left|d\zeta \right|={\frac {MI}{2\pi }}

где је $I$ вредност преосталог интеграла. Ово показује да је $f'$ ограничена и цела функција, па мора бити константна, према Лиувиловој теореми. Интеграљењем тада следи да је $f$ афина, а затим, узимајући у обзир првобитну неједнакост, константни члан је нула.

1. Неконстантне елиптичке функције не могу бити дефинисане на комплексној равни##

Теорема се такође може користити за извођење закључка да домен неконстантне елиптичке функције $f$ не може бити $\mathbb {C}$ . Претпоставимо супротно. Онда, ако су $a$ и $b$ два периода функције $f$ таква да ${\tfrac {a}{b}}$ није реалан број, размотримо паралелограм $P$ чији темењи су 0, $a$ , $b$ и $a+b$ . Тада је слика од $f$ једнака $f(P)$ . Будући да је $f$ непрекинута и $P$ је компактан скуп, $f(P)$ је такође компактан и према томе ограничен. Дакле, $f$ је константна.

Чињеницу да домен неконстантне елиптичке функције $f$ не може бити $\mathbb {C}$ је заправо Лиувил доказао, 1847. године, користећи теорију елиптичких функција.^[4] Заправо, то је Коши доказао Лиувилову теорему.^[5]^[6]

1. Читаве функције имају густе слике##

Ако је $f$ неконстантна читава функција, онда је њена слика густа у $\mathbb {C}$ . Ово може изгледати као много јачи резултат од Лиувилове теореме, али је заправо њена лака последица. Ако слика од $f$ није густа, онда постоји комплексан број $w$ и реалан број $r>0$ такав да отворени диск са центром у $w$ полупречника $r$ нема ниједан елемент слике од $f$ . Дефинишимо

g(z)={\frac {1}{f(z)-w}}.

Тада је $g$ ограничена читава функција, јер за све $z$ ,

|g(z)|={\frac {1}{|f(z)-w|}}<{\frac {1}{r}}.

Дакле, $g$ је константна, па је и $f$ константна.

1. На компактним Римановим површима##

Свака холоморфна функција на компактној Римановој површи је нужно константна.^[7]

Нека је $f(z)$ холоморфна на компактној Римановој површи $M$ . Због компактности, постоји тачка $p_{0}\in M$ у којој $|f(p)|$ достиже свој максимум. Затим можемо наћи карту из околине тачке $p_{0}$ на јединични диск $\mathbb {D}$ такву да је $f(\varphi ^{-1}(z))$ холоморфна на јединичном диску и има максимум у $\varphi (p_{0})\in \mathbb {D}$ , па је константна, према принципу максимума модула.

1. Напомене ##

Нека је $\mathbb {C} \cup \{\infty \}$ једнократка компактификација комплексне равни $\mathbb {C}$ . Уместо холоморфних функција дефинисаних на областима у $\mathbb {C}$ , може се посматрати област у $\mathbb {C} \cup \{\infty \}$ . Посматрано на овај начин, једина могућа сингуларност за целе функције, дефинисане на $\mathbb {C} \subset \mathbb {C} \cup \{\infty \}$ , је тачка $\infty$ . Ако је читава функција $f$ ограничена у околини тачке $\infty$ , онда је $\infty$ отклоњива сингуларност од $f$ , тј. $f$ не може експлодирати или се понашати хаотично у $\infty$ . У светлу Тејлоровог реда, није изненађујуће да Лиувилова теорема важи.

Слично, ако читава функција има пол реда $n$ у $\infty$ — то јест, расте по магнитуди упоредиво са $z^{n}$ у некој околини тачке $\infty$ — онда је $f$ полином. Ова проширена верзија Лиувилове теореме може се прецизније формулисати: ако $|f(z)|\leq M|z|^{n}$ за довољно велико $|z|$ , онда је $f$ полином степена највише $n$ . Ово се може доказати на следећи начин. Поново узмимо Тејлоров ред $f$ ,

f(z)=\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}z^{k}.

Аргумент коришћен у доказу са Кошијевим проценама показује да за све $k\geq 0$ ,

|a_{k}|\leq Mr^{n-k}.

Дакле, ако је $k>n$ , онда је

|a_{k}|\leq \lim _{r\to \infty }Mr^{n-k}=0.

Према томе, $a_{k}=0$ .

Лиувилова теорема се не може проширити на генерализације комплексних бројева познате као дуални бројеви и сплит-комплексни бројеви.^[8]

Види још

Милаглер-Лефлерова теорема

Литература

Gamelin, Theodore W. (2004). Complex Analysis. Springer. ISBN 9788181281142.
Lützen, Jesper (1990), Joseph Liouville 1809–1882: Master of Pure and Applied Mathematics, Studies in the History of Mathematics and Physical Sciences, 15, Springer-Verlag, ISBN 3-540-97180-7

Референце

^ Hazewinkel, Michiel, ур. (2001) [1994], „Лијувилова теорема (комплексна анализа)”, Encyclopedia of Mathematics, Springer Science+Business Media B.V. / Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1-55608-010-4
^ Gamelin, Theodore W. (2004). Complex Analysis. Springer. ISBN 9788181281142.
^ Benjamin Fine; Gerhard Rosenberger (1997). The Fundamental Theorem of Algebra. Springer Science & Business Media. стр. 70—71. ISBN 978-0-387-94657-3.
^ Liouville, Joseph (1847), „Leçons sur les fonctions doublement périodiques”, Journal für die Reine und Angewandte Mathematik (објављено 1879), 88, стр. 277—310, ISSN 0075-4102, Архивирано из оригинала 2012-07-11. г.
^ Cauchy, Augustin-Louis (1844), „Mémoires sur les fonctions complémentaires”, Œuvres complètes d'Augustin Cauchy, 1, 8, Paris: Gauthiers-Villars (објављено 1882)
^ Lützen, Jesper (1990), Joseph Liouville 1809–1882: Master of Pure and Applied Mathematics, Studies in the History of Mathematics and Physical Sciences, 15, Springer-Verlag, ISBN 3-540-97180-7
^ a concise course in complex analysis and Riemann surfaces, Wilhelm Schlag, corollary 4.8, p.77 http://www.math.uchicago.edu/~schlag/bookweb.pdf Архивирано 2017-08-30 на сајту Wayback Machine
^ Denhartigh, Kyle; Flim, Rachel (15. јануар 2017). „Liouville theorems in the Dual and Double Planes”. Rose-Hulman Undergraduate Mathematics Journal. 12 (2).

Спољашње везе

„Лиувилова теорема”. PlanetMath.
Weisstein, Eric W. „Liouville’s Boundedness Theorem”. MathWorld.

[1] Hazewinkel, Michiel, ур. (2001) [1994], „Лијувилова теорема (комплексна анализа)”, Encyclopedia of Mathematics, Springer Science+Business Media B.V. / Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1-55608-010-4

[2] Gamelin, Theodore W. (2004). Complex Analysis. Springer. ISBN 9788181281142.

[3] Benjamin Fine; Gerhard Rosenberger (1997). The Fundamental Theorem of Algebra. Springer Science & Business Media. стр. 70—71. ISBN 978-0-387-94657-3.

[4] Liouville, Joseph (1847), „Leçons sur les fonctions doublement périodiques”, Journal für die Reine und Angewandte Mathematik (објављено 1879), 88, стр. 277—310, ISSN 0075-4102, Архивирано из оригинала 2012-07-11. г.

[5] Cauchy, Augustin-Louis (1844), „Mémoires sur les fonctions complémentaires”, Œuvres complètes d'Augustin Cauchy, 1, 8, Paris: Gauthiers-Villars (објављено 1882)

[6] Lützen, Jesper (1990), Joseph Liouville 1809–1882: Master of Pure and Applied Mathematics, Studies in the History of Mathematics and Physical Sciences, 15, Springer-Verlag, ISBN 3-540-97180-7

[7] se course in complex analysis and Riemann surfaces, Wilhelm Schlag, corollary 4.8, p.77 http://www.math.uchicago.edu/~schlag/bookweb.pdf Архивирано 2017-08-30 на сајту Wayback Machine

[8] Denhartigh, Kyle; Flim, Rachel (15. јануар 2017). „Liouville theorems in the Dual and Double Planes”. Rose-Hulman Undergraduate Mathematics Journal. 12 (2).

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]