Лијувилова теорема је теорема из области комплексне анализе. Она гласи: ако је функција
холоморфна над цијелим скупом комплексних бројева (
и ограничена, тада је она идентички константа, тј.
.
Нека је
круг са полупречником
и центром у нули. Како је функција холоморфна у
, она је холоморфна и унутар
, па можемо да је развијемо у Тејлоров ред:
Како је
ограничена, онда постоји
тако да је
. Зато важе Кошијеве неједнакости:
.
Одатле:
. (пустили смо да
јер ће једначина бити иста за ма колико велико
).
Пошто су сви коефицијенти у Тејлоровом развоју једнаки нули, осим коефицијента
, слиједи да је:
.