Nepokretna tačka

Funkcija sa tri nepokretne tačke

U matematici, nepokretna tačka (ponekad fiksna tačka) funkcije je tačka koju funkcija preslikava u samu sebe. Jednostavnije rečeno, x je nepokretna tačka funkcije f ako i samo ako f(x) = x. Na primer, ako je f definisana na skupu realnih brojeva kao

$\ f(x)=x^{2}-3x+4,$

onda je 2 nepokretna tačka f, jer je f(2) = 2.

Nemaju sve funkcije nepokretne tačke: na primer, ako je f funkcija definisana na skupu realnih brojeva kao f(x) = x + 1, onda ona nema nepokretnih tačaka, jer x nikad nije jednako x + 1 za bilo koji realan broj. Geometrijski posmatrano, tačka (x, f(x)) je nepokretna tačka ako se nalazi na pravoj y = x, ili drugim rečima, nepokretne tačke su tačke preseka grafika funkcije f i prave y = x. Dati primer funkcije (f(x) = x + 1) ima grafik koji predstavlja pravu, paralelnu pravoj y = x, pa stoga nema preseka.

Tačke koje se vraćaju na istu vrednost nakon konačnog broja iteracija funkcije se nazivaju periodičnim tačkama; nepokretna tačka je periodična tačka sa periodom jednakim 1.

Atraktivne nepokretne tačke

Iteracija nepokretne tačke x_n+1 = cos x_n sa početnom vrednošću x_{1 = -1.}

Atraktivna nepokretna tačka funkcije f je nepokretna tačka x₀ za f, takva da za svaku vrednost x u domenu koji je dovoljno blizu x₀, niz iteracija funkcije,

$x,\ f(x),\ f(f(x)),\ f(f(f(x))),\dots$

konvergira ka x₀. Koliko blizu je dovoljno blizu zavisi od slučaja.

Funkcija prirodnog kosinusa (prirodni znači da mu je argument u radijanima a ne stepenima ili drugim jedinicama) ima tačno jednu nepokretnu tačku, koja je atraktivna. U ovom slučaju, dovoljno blizu uopšte nije oštar kriterijum. Da bi se ovo demonstriralo, dovoljno je uneti bilo koji realan broj, i iznova pritiskati taster cos na kalkulatoru. Rezultati će brzo da konvergiraju vrednosti bliskoj 0,73908513, koja je nepokretna tačka. To je tačka u kojoj grafik kosinusne funkcije seče pravu $y=x$.

Nisu sve nepokretne tačke atraktivne: na primer, x = 0 je nepokretna tačka funkcije f(x) = 2x, ali iteriranje ove funkcije za bilo koju vrednost izuzev nule vrlo brzo divergira. Međutim, ako je funkcija f neprekidno diferencijabilna na otvorenoj okolini nepokretne tačke x₀, i f'(x₀)| < 1, atrakcija je garantovana.

Atraktivne nepokretne tačke su specijalni slučaj šireg matematičkog koncepta atraktora.

Za atraktivnu nepokretnu tačku se kaže da je stabilna nepokretna tačka ako je takođe Ljapunov stabilna.

Nepokretna tačka je neutralna stabilna nepokretna tačka ako je Ljapunov stabilna ali nije atraktivna.

Postoje brojne teoreme u raznim oblastima matematike, koje garantuju da funkcije, ako zadovoljavaju određene uslove, imaju barem jednu nepokretnu tačku.

Vidi još

• Idempotencija
• Sopstveni vektor
• Stacionarna tačka
• Atraktor
• Teorema o nepokretnoj tački
• Banahova teorema o nepokretnoj tački
• Kontrakcija

Spoljašnje veze

• animacije iteracije nepokretne tačke