Paradoks Bertrandove kutije

Paradoks Berdrandove kutije je klasičan paradoks elementarne teorije verovatnoće. Prvi put je postavljen od strane Josipa Bertranda u njegovom Kalkus des probabilites, objavljenom 1889. godine.

Postoje tri kutije:

1. kutija sadrži dva zlatna novčića,
2. kutija sadrži dva srebrna novčića,
3. kutija sadrži jedan zlatni i jedan srebrni novčić.

Nakon nasumičnog izbora kutije i izvlačenja jednog novčića nasumično, ako se desi da bude zlatan, to može izgledati da je verovatnoća da je preostali novčić zlatan ¹⁄₂; u stvari, verovatnoća je ²⁄₃. Dva problema koji su veoma slična su Montiholov paradoks i Paradoks tri zatvorenika.

Ove jednostavne, ali kontraintuitivne pitalice se koriste kao standardni primeri u nastavi teorije verovatnoće. Njihovo rešenje ilustruje neke osnovne principe, uključujući i Kolmogorove aksiome.

Verzija kutije

Postoje tri kutije, svaka sa jednom fiokom na svakoj od dve strane. Svaka fioka sadrži novčić. Jedna kutija ima zlatan novčić na svakoj strani (GG), jedan srebrni novčić sa svake strane (SS), a drugi zlatan novčić na jednoj strani i srebrni novčić na drugoj (GS). Kutija je izabrana nasumice, slučajna fioka se otvara, a zlatan novčić je nađen unutar nje. Koja je verovatnoća da je na drugoj strani zlatan novčić?

Sledeće obrazloženje izgleda da daje verovatnoću od ¹⁄₂:

• Prvobitno, sve tri kutije je podjednako verovatno moguće izabrati.

• Izabrana kutije ne može biti SS.
• Tako da mora biti kutija GG ili GS.
• Dve preostale mogućnosti su podjednako verovatne. Dakle, verovatnoća da je kutija GG, a da je drugi novčić takođe zlatan, je ¹⁄₂.

Mana je u poslednjem koraku. Dok ta dva slučaja su prvobitno jednako verovatna, činjenica da ste sigurni da pronađete zlatnik ako ste odabrali GG kutiju, ali su samo 50% sigurni u pronalaženju zlatnika ako cu odabrali GS kutiju, znači da su ne podjednako verovatno s obzirom na to da ste našli zlatnik. Konkretno:

• Verovatnoća da će u GG biti zlatnik je 1.

• Verovatnoća da će u SS biti zlatnik je 0.

• Verovatnoća da će u GS biti zlatnik je ¹⁄₂.

U početku GG, SS i GS su podjednako verovatne. Stoga, po Bajesovom pravilu vlada uslovna verovatnoća da je izabrana kutija GG, s obzirom da smo primetili zlatnik, je:

${\frac {\mathrm {P} (see\ gold\mid GG)}{\mathrm {P} (see\ gold\mid GG)+\mathrm {P} (see\ gold\mid SS)+\mathrm {P} (see\ gold\mid GS)}}={\frac {1}{1+0+1/2}}={\frac {2}{3}}$

Tačan odgovor od ²⁄₃ se takođe može dobiti na sledeći način:

• Prvobitno, svih šest kovanica su podjednako  moguće da budu birane.

• Izabrani novčić ne može biti iz fioke S kutije GS, ili iz bilo koje fioke kutije SS. 
• Dakle, mora doći iz G fioke kutije GS, ili iz bilo koje fioke kutije GG.

• Tri preostale mogućnosti su podjednako verovatne, tako da je verovatnoća da je fioka od kutije GG ²⁄₃.

Alternativno, jednostavno se može konstatovati da izabrana kutija ima dva novčića istog tipa ²⁄₃ vremena. Dakle, bez obzira na to kakav je novčić u izabranoj fioci, kutija ima dva novčića od te vrste ²⁄₃ vremena. Drugim rečima, problem je ekvivalentan postavljenom pitanju "Kolika je verovatnoća da ću uzeti kutiju sa dve kovanice iste boje?".

Bertrandova poenta u izgradnji ovog primera bila je da se pokaže da samo brojanje slučajeva nije uvek ispravno. Umesto toga, treba sumirati verovatnoću za koju će slučajevi proizvesti posmatrani rezultat; a dva metoda su ekvivalentna samo ako je verovatnoća 1 ili 0 u svakom slučaju. Ovaj uslov je pravilno primenjen u postupku drugog rešenja, ali ne u prvom.

Paradoks kako navodi Bertrand

Može biti lakše da se razume tačan odgovor, ako se uzme u obzir paradoks koji je Bertran prvobitno opisao. Nakon što je izabrana kutija, ali pre nego što se kutija otvori dozvoljeno je da posmatramo novčić, verovatnoća je 2/3 da kutija ima dva novčića iste vrste. Ako je verovatnoća "posmatranje zlatnika" u kombinaciji sa "kutija ima dva novčića iste vrste" je 1/2, onda verovatnoća "posmatranje srebrnog novčića" u kombinaciji sa "kutije ima dva novčića iste vrste " takođe mora biti 1/2. A ako se verovatnoća da kutija ima dva novčića menja na 1/2 bez obzira na vrstu novčića koji je prikazan, verovatnoća bi morala da bude 1/2, čak i ako niste primetili novčić na ovaj način. Pošto znamo da je njegova verovatnoća 2/3, a ne 1/2 , imamo paradoks. Može se rešiti samo uvažavajući činjenicu da kombinacija "posmatranje zlatnika" sa svakog mogućeg okvira može samo da utiče na verovatnoću da je kutija GS ili SS, ali ne i GG.

Verzija karte

Pretpostavimo da postoje tri karte:

• Crna karta koja je crna sa obe strane,
• Bela karta koja je bela sa obe strane, i
• Mešovita karta koja je crna sa jedne, a bela sa druge strane.

Sve karte su postavljene u šešir i jedna je izvučena nasumce i stavljena na sto. Strana okrenuta nagore je crna. Kakve su šanse da je druga strana takođe crna?

Odgovor je da je verovatnoća da je druga strana crna ²⁄₃. Međutim, zajednička intuicija predlaže verovatnoću od ¹⁄₂  zato što postoje dve karte sa crnim na njima što bi ova karta mogla biti, ili zato što postoje 3 bele i 3 crne strane i mnogi ljudi zaborave da eliminišu mogućnost "bele karte" u ovoj situaciji (npr. karta koju prevrnu NE MOŽE biti "bela karta", jer je crna strana okrenuta).

U istraživanju od 53 brucoša psihologije, uzimajući uvodni kurs verovatnoće, 35 je pogrešno odgovorilo ¹⁄₂; samo je 3 studenta tačno odgovorilo 2/3. 

Druga prezentacija problema kaže: nasumično odaberi kartu od tri, koje su šanse da ima istu boju na drugoj strani? Pošto je samo jedna karta mešovita i dve imaju istu boju na dve strane, lakše je razumeti da je verovatnoća ²⁄₃. Takođe imajte na umu da je rečeno da je boja crna (ili zlatan novčić) umesto bele nije bitno jer je simetrična: odgovor je isti za belu. Tako je odgovor na pitanje generički 'iste boje na obe strane ".

Uvodne napomene

Da bi se rešio ovaj problem, bilo formalno ili neformalno, moraju se dodeliti verovatnoće događajima izvlačenja svakog od šest lica na tri karte. Ove verovatnoće mogu biti veoma različite; možda je bela karta veća od crne karte, ili je crna strana mešovite karte teža od bele strane. Izjava ovog pitanja se ne bavi eksplicitno ovim problemima. Jedina ograničenja koja impliciraju Kolmogorove aksiome su da su sve verovatnoće ne-negativne, i sumiraju se do 1.

Običaj u problemima kada se bukvalno izvlače objekti iz šešira je pretpostaviti da su sve verovatnoće izvlačenja jednake. Ovo primorava da verovatnoća izvlačenja svake strane bude ¹⁄₆, pa je verovatnoća izvlačenja date karte ¹⁄₃. Posebno, verovatnoća izvlačenja dvostruko-bele karte je ¹⁄₃, i verovatnoća izvlačenja različite karte je ²⁄₃.

U pitanju je, međutim, neko je već odabrao neku kartu iz šešira i ona pokazuje crno lice. Na prvi pogled čini se da postoji šansa 50/50 (tj. verovatnoća ¹⁄₂) da je druga strana karte crne boje, jer postoje dve karte koje mogu biti: crna i mešovita. Međutim, ovo rezonovanje ne koristi sve informacije; ne samo da karta na stolu ima bar jedno crno lice, ali i da je u populaciji odabrana od, samo 1 od 3 crna lica koja su bila na mešovitoj karti.

Jednostavno objašnjenje je da se imenuju crne strane kao x, y i z gde su x i u ana istoj karti dok je z na mešovitoj karti, tada je verovatnoća podeljena na tri crne strane sa  ¹⁄₃ za svaku. Verovatnoća da odaberemo ili x ili y je suma verovatnoća i iznosi ²⁄₃.

Rešenja

Intuicija

Intuicija kaže da se karta bira nasumice. Međutim, jednom se zapravo bira lice nasumice. Postoji 6 lica, od kojih su 3 lica bela i 3 lica su crna. 2 od 3 crnih lica pripadaju istoj karti. Šansa da odaberete jedno od ta dva lica je ²⁄₃. Dakle, šanse da okrenete kartu iznova i pronađete drugo crno lice je takođe ²⁄₃. Drugi način razmišljanja o tome je da problem nije u vezi sa slučajem da je druga strana crna, je o šansi da ste izabrali sve crne karte. Ako ste izabrali crno lice, onda je dva puta veća šansa da to lice pripada crnoj karti nego mešovitoj karti.

Alternativno, može se posmatrati kao oplklada ne na određenoj boji, ali opklada da strane odgovaraju. Klađenje na određenu boju, bez obzira na to koje je lice prikazano, uvek će imati šansu  ¹⁄₂. Ali klađenje da strane odgovaraju je ²⁄₃, zato što 2 karte odgovaraju, a 1 ne.

Etikete

Jedan metod rešenja je obeležavanje lica karte, na primer brojevima od 1 do 6. Etiketirati lica crne karte 1 i 2; obeležiti lica mešovite karte 3 (crno) i 4 (belo); i obeležiti lica bele karte 5. i 6. Primetimo da bi crno lice moglo biti 1, 2 ili 3, sve podjednako verovatno; ako je 1 ili 2, druga strana je crna, a ako je 3, druga je bela. Verovatnoća da je druga strana crna je ²⁄₃. Ova verovatnoća može biti izvedena na sledeći način: Neka slučajna promenljiva B jednaka crnom licu (tj. verovatnoća uspeha pošto je crno lice ono što tražimo). Koristeći Kolmogrov aksiom svih verovatnoća imamo jednako 1, možemo zaključiti da je verovatnoća izvlačenja belog lica 1-P(B). Pošto je P(B)=P(1)+P(2) odatle P(B)=¹⁄₃+¹⁄₃=²⁄₃. Možemo izraziti P(belo loce)=1-²⁄₃=¹⁄₃.

Bajesova teorema

S obzirom da je pokazano lice crno, drugo lice je crno ako i samo ako je karta crna karta. Ako se crna karta izvuče, crno lice je prikazano sa verovatnoćom 1. Ukupna verovatnoća viđenja crnog lica je ¹⁄₂; ukupna verovatnoća izvlačenja crne karte je ¹⁄₃. Po Bajesovoj teoremi, uslovna verovatnoća da je izvučena crna karta, s obzirom da je pokazano crno lice, je

${\frac {1\cdot 1/3}{1/2}}=2/3.$

Može biti više intuitivno da se predstavi ovaj argument koristeći Bajesovo pravilo,  nego Bajesovu teoremu. Videvši crno lice možemo isključiti belu kartu. Mi smo zainteresovani za verovatnoću da data crna karta pokazuje crno lice. U početku je jednako verovatno da je karta crna i da je mešovita: dosadašnje šanse su 1: 1. S obzirom da je crna sigurni smo da vidimo crno lice, ali s obzirom da je mešovita sigurni smo samo 50% da vidimo crno lice. Odnos ovih verovatnoća, koji se naziva faktor rizika ili Bajesov faktor, je 2: 1. Bajesovo pravilo kaže "bočna kvota iznosi prethodna kvota puta faktor verovatnoće". Pošto su ranije šanse 1: 1 zadnja šansa je jednaka odnosu verodostojnosti, 2: 1. Sada je dva puta veća šansa da je karta crna, nego da je mešovita.

Eliminisanje bele karte

Iako su razlozi netačnih rešenja da je bela karta, koja je uklonjena, ona koja može koristiti tu informaciju za pravo rešenje. Izmena prethodnog metoda, s obzirom da bela karta nije nacrtana, verovatnoća da se vidi crno lice je ³⁄₄, i verovatnoća izvlačenja crne karte je ¹⁄₂. Uslovna verovatnoća da će se izvući crna karta, s obzirom da je pokazano crno lice je

${\frac {1/2}{3/4}}=2/3.$

Simetrija

Verovatnoća (bez razmatranja pojedinačne boje) da je sakrivena boja ista kao prikazana boja je očigledno ²⁄₃, jer to važi ako i samo ako je izabrana karta crna ili bela, kada biramo 2 od 3 karte. Simetrija sugeriše da je verovatnoća nezavisna od izabrane boje, tako da informacije o tome koja je prikazana boja ne utiču na izglede da obe strane imaju istu boju.

Ovaj argument je tačan i može se formalizovati na sledeći način. Po zakonu ukupne verovatnoće, verovatnoća da je sakrivena boja ista kao i prikazana boja jednaka je ponderisanom proseku verovatnoća da je sakrivena boja ista kao i prikazana boja, s obzirom da je prikazana boja crna ili bela, respektivno (težine su verovatnoće viđenja crne ili bele, respektivno). Simetrijom, dve uslovne verovatnoće da su boje iste vidimo recimo crnu i recimo vidimo bele da su iste. Pošto su povrh toga u proseku 2/3 moraju obe biti jednake 2/3.

Eksperiment

Korišćenjem posebno konstruisanih karti, izbor se može testirati više puta. Neka "B" označava crnu boju. Izgradnjom razlomka sa imeniocem broj puta kada je "B" na vrhu, a brojiocem koliko puta su obe strane "B", eksperimentator će verovatno naći da odnos bude blizu ²⁄₃.

Obratite pažnju na logičnu činjenicu da B/B karta značajno više doprinosi (u stvari duplo) broju puta kada je "B" na vrhu. Uz kartu B/V uvek postoji šansa 50% da će V biti na vrhu, tako da u 50% slučajeva karta B/V se izvlači, izvlačenje ne utiče ni na brojilac, ni na imenilac i efikasno se ne računaju (ovo važi i za svaki put kada je V/V izvučena, tako da ta karta može i biti uklonjena iz seta u potpunosti). Konačno, karte B/B i B/V nisu jednakih šansi, jer u 50% slučajeva B/ V je izvučena, ova karta je jednostavno "diskvalifikovana".

Povezani paradoksi

• Paradoks dečaka ili devojčice
• Paradoks tri zatvorenika
• Paradoks dve koverte
• Paradoks uspavane lepotice

Napomene

1. ^ Bar-Hillel and Falk (page 119)
2. ^ Nickerson (page 158) advocates this solution as "less confusing" than other methods.
3. ^ Bar-Hillel and Falk (page 120) advocate using Bayes' Rule.

Literatura

• Bar-Hillel, Maya; Falk, Ruma (1982). „Some teasers concerning conditional probabilities”. Cognition. 11 (2): 109—22. PMID 7198956. doi:10.1016/0010-0277(82)90021-X. 
• Nickerson, Raymond. Cognition and Chance: The psychology of probabilistic reasoning, Lawrence Erlbaum. Ch. 5, "Some instructive problems: Three cards". 2004. ISBN 978-0-8058-4898-4. str. 157–160.
• Michael Clark, Paradoxes from A to Z, p. 16;
• Howard Margolis, Wason, Monty Hall, and Adverse Defaults.