Бајесова теорема

Из Википедије, слободне енциклопедије
Иди на навигацију Иди на претрагу
Плави неонски натпис приказује једноставни израз Бајесове теореме у просторијама предузећа ХП Аутономија

Бајесова теорема је појам из вероватноће, који се користи при рачуну са условљеном вероватноћом. Име је добио по математичару Томасу Бајесу (Thomas Bayes).

Формула[уреди]

За коначно много дисјунктних случајева Ai, i = 1, ..., N, Бајесова теорема, односно формула гласи:[1][2]

Бајесова формула у општем случају
Доказ
Према дефиницији условне вероватноће имамо:

Даље, користећи правило потпуне вероватноће:
Заменом у први израз се директно добија Бајесова формула. Крај доказа.[1][2]
Бајесова формула за два случаја
Када имамо два случаја A и B, формула се своди на:
Где је
P(A) вероватноћа случаја A
A) вероватноћа случаја B под условом да се A догоди
P(B) вероватноћа случаја B

Пример[уреди]

Цела производња у фабрици се одвија на три машине. Три машине чине редом 20%, 30% и 50% фабричке производње. Удио произведеног шкарта(неисправних производа) за прву машину износи 5%; 3% за другу машину; и 1% за трећу машину. Ако је случајно одабран производ неисправн, која је вероватноћа да је произведен од стране треће машине?

До одговора се може доћи без кориштења формуле примјеном услова на било који хипотетички број случајева. На пример, ако фабрика произведе 100.000 призвода, 20.000 ће бити произведено на машини A, 30.000 по машини B и 50.000 по машини C. Машина A ће произвести 1000 неисправних производа, машина B 900 и машина C 500. укупно 2400 неисправних предмета, само 500, или 5/24 произведено је на машини C.

Решење је следеће, нека Xi означава догађај да је случајно изабрани производ направила i та машина (за i = A,B,C). Нека Y означава догађај да је случајно изабрани производ неистраван. Па имамо следеће информације:

Ако је призвод направљен на првој машини, онда је вероватноћа да је неисправан 0.05; то јест, P(Y | XA) = 0.05. Свеукупно имамо:

Да бисмо одговорили на почетно питање, прво пронађемо P(Y). То можемо урадити на следећи начин:

Стога је 2,4% укупне производње фабрике неисправно.

Нама је дато да се Y десило, и треба да израчунамо условну вероватноћу од XC. По Бајесовој теореми,

С обзиром на то да је предмет неисправан, вероватноћа да је направљен на трећој машини је само 5/24. Иако машина C производи половину укупне производње, она производи много мање неисправних призвода. Отуда пошто знамо да је изабрани призвод неисправан, можемо онда да заменимо претходну вероватноћу P(XC) = 1/2 са мањом вероватноћом P(XC | Y) = 5/24.

Види још[уреди]

Референце[уреди]

  1. 1,0 1,1 Ивковић, Зоран (1986). Теорија вероватноћа са математичком статистиком (III изд.). Београд: Природно математички факултет Универзитета у Београду и Југословенски завод за продуктивност рада. стр. 17. 
  2. 2,0 2,1 Меркле, Милан (2016). Вероватноћа и статистика за инжењере и студенте технике (Четврто и допуњено издање изд.). Београд: Академска мисао. стр. 44. ISBN 978-86-7466-594-7. 

Литература[уреди]

  • Ивковић, Зоран (1986). Теорија вероватноћа са математичком статистиком (III изд.). Београд: Природно математички факултет Универзитета у Београду и Југословенски завод за продуктивност рада. стр. 17. 
  • Ивковић, Зоран (1986). Теорија вероватноћа са математичком статистиком (III изд.). Београд: Природно математички факултет Универзитета у Београду и Југословенски завод за продуктивност рада. стр. 17. 
  • Меркле, Милан (2016). Вероватноћа и статистика за инжењере и студенте технике (Четврто и допуњено издање изд.). Београд: Академска мисао. стр. 44. ISBN 978-86-7466-594-7. 
  • Bruss, F. Thomas (2013), "250 years of 'An Essay towards solving a Problem in the Doctrine of Chance. By the late Rev. Mr. Bayes, communicated by Mr. Price, in a letter to John Canton, A. M. F. R. S.'," doi:10.1365/s13291-013-0077-z, Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung, Springer Verlag, Vol. 115, Issue 3-4 (2013), 129-133.
  • Gelman, A, Carlin, JB, Stern, HS, and Rubin, DB (2003), "Bayesian Data Analysis," Second Edition, CRC Press.
  • Grinstead, CM and Snell, JL (1997), "Introduction to Probability (2nd edition)," American Mathematical Society (free pdf available) [1].
  • Hazewinkel Michiel, ур. (2001). „Bayes formula”. Encyclopaedia of Mathematics. Springer. ISBN 978-1556080104. 
  • McGrayne, SB (2011). The Theory That Would Not Die: How Bayes' Rule Cracked the Enigma Code, Hunted Down Russian Submarines & Emerged Triumphant from Two Centuries of Controversy. Yale University Press. ISBN 978-0-300-18822-6. 
  • Laplace, P (1774/1986), "Memoir on the Probability of the Causes of Events", Statistical Science 1(3):364–378.
  • Lee, Peter M (2012), "Bayesian Statistics: An Introduction," 4th edition. Wiley. ISBN 978-1-118-33257-3..
  • Puga JL, Krzywinski M, Altman N (31. 03. 2015). „Bayes' theorem”. Nature Methods. 12 (4): 277—278. 
  • Rosenthal, Jeffrey S (2005), "Struck by Lightning: The Curious World of Probabilities." HarperCollins. (Granta. 2008. ISBN 9781862079960.).
  • Stigler, SM (1986). „Laplace's 1774 Memoir on Inverse Probability”. Statistical Science. 1 (3): 359—363. doi:10.1214/ss/1177013620. 
  • Stone, JV (2013), download chapter 1 of "Bayes' Rule: A Tutorial Introduction to Bayesian Analysis", Sebtel Press, England.
  • Bayesian Reasoning for Intelligent People, An introduction and tutorial to the use of Bayes' theorem in statistics and cognitive science.
  • Morris, Dan (2016), Read first 6 chapters for free of "Bayes' Theorem Examples: A Visual Introduction For Beginners" Blue Windmill. ISBN 978-1549761744.. A short tutorial on how to understand problem scenarios and find P(B), P(A), and P(B|A).

Спољашње везе[уреди]