Бајесова теорема

Из Википедије, слободне енциклопедије
Иди на навигацију Иди на претрагу

Бајесова теорема је појам из вероватноће, који се користи при рачуну са условљеном вероватноћом. Име је добио по математичару Томасу Бајесу (Thomas Bayes).

Формула[уреди]

За коначно много дисјунктних случајева Ai, i = 1, ..., N, Бајесова теорема, односно формула гласи:[1][2]

Бајесова формула у општем случају
Доказ
Према дефиницији условне вероватноће имамо:

Даље, користећи правило потпуне вероватноће:
Заменом у први израз се директно добија Бајесова формула. Крај доказа.[1][2]
Бајесова формула за два случаја
Када имамо два случаја A и B, формула се своди на:
Где је
P(A) вероватноћа случаја A
A) вероватноћа случаја B под условом да се A догоди
P(B) вероватноћа случаја B

Пример[уреди]

Цела производња у фабрици се одвија на три машине. Три машине чине редом 20%, 30% и 50% фабричке производње. Удио произведеног шкарта(неисправних производа) за прву машину износи 5%; 3% за другу машину; и 1% за трећу машину. Ако је случајно одабран производ неисправн, која је вероватноћа да је произведен од стране треће машине?

До одговора се може доћи без кориштења формуле примјеном услова на било који хипотетички број случајева. На пример, ако фабрика произведе 100.000 призвода, 20.000 ће бити произведено на машини A, 30.000 по машини B и 50.000 по машини C. Машина A ће произвести 1000 неисправних производа, машина B 900 и машина C 500. укупно 2400 неисправних предмета, само 500, или 5/24 произведено је на машини C.

Решење је следеће, нека Xi означава догађај да је случајно изабрани производ направила i та машина (за i = A,B,C). Нека Y означава догађај да је случајно изабрани производ неистраван. Па имамо следеће информације:

Ако је призвод направљен на првој машини, онда је вероватноћа да је неисправан 0.05; то јест, P(Y | XA) = 0.05. Свеукупно имамо:

Да бисмо одговорили на почетно питање, прво пронађемо P(Y). То можемо урадити на следећи начин:

Стога је 2,4% укупне производње фабрике неисправно.

Нама је дато да се Y десило, и треба да израчунамо условну вероватноћу од XC. По Бајесовој теореми,

С обзиром на то да је предмет неисправан, вероватноћа да је направљен на трећој машини је само 5/24. Иако машина C производи половину укупне производње, она производи много мање неисправних призвода. Отуда пошто знамо да је изабрани призвод неисправан, можемо онда да заменимо претходну вероватноћу P(XC) = 1/2 са мањом вероватноћом P(XC | Y) = 5/24.

Види још[уреди]

Референце[уреди]

  1. 1,0 1,1 Ивковић, Зоран (1986). Теорија вероватноћа са математичком статистиком (III изд.). Београд: Природно математички факултет Универзитета у Београду и Југословенски завод за продуктивност рада. стр. 17. 
  2. 2,0 2,1 Меркле, Милан (2016). Вероватноћа и статистика за инжењере и студенте технике (Четврто и допуњено издање изд.). Београд: Академска мисао. стр. 44. ISBN 978-86-7466-594-7. 

Литература[уреди]

  • Ивковић, Зоран (1986). Теорија вероватноћа са математичком статистиком (III изд.). Београд: Природно математички факултет Универзитета у Београду и Југословенски завод за продуктивност рада. стр. 17. 
  • Меркле, Милан (2016). Вероватноћа и статистика за инжењере и студенте технике (Четврто и допуњено издање изд.). Београд: Академска мисао. стр. 44. ISBN 978-86-7466-594-7.