Procena lokacije u bežičnim senzorskim mrežama

Procena lokacije u bežičnim senzorskim mrežama je problem procene lokacije objekta iz skupa merenja sa smetnjama (šumovima). Ova merenja se dobijaju na raspodeljen način pomoću skupa senzora.

Motivacija

Mnoge civilne i vojne aplikacije zahtevaju praćenje koje može identifikovati objekte u određenoj oblasti, slično posmatranju ulaza u privatnu kuću pomoću sigurnosne kamere. Nadgledane oblasti koje su veće u odnosu na objekte od interesa često zahtevaju višestruke senzore (npr. infracrvene detektore) na više lokacija. Centralizovani posmatrač ili računarska aplikacija nadgleda te senzore.

Sistem CodeBlue harvardskog Univerziteta predstavlja primer gde je veliki broj senzora distribuiran među bolničkim objektima, u cilju lociranja pacijenta u nevolji, od strane osoblja. Osim toga, niz senzora omogućava onlajn praćenje medicinskih informacija dok istovremeno dozvoljava pacijentu slobodno kretanje. Vojne aplikacije (npr. lociranje uljeza u zaštićenom području) takođe su dobri kandidati za postavljanje bežičnih senzorskih mreža.

Postavka problema

Neka $\theta$ označava poziciju od interesa. Skup od $N$ senzora prikuplja tačno $x_{n}=\theta +w_{n}$ merenja koja su zagađena nekim aditivnim šumom $w_{n}$ koji zavisi od poznatih ili nepoznatih funkcija raspodele verovatnoće. Senzori prenose merenja do centralnog procesora. $n$ senzor kodira $x_{n}$ pomoću funkcije $m_{n}(x_{n})$. Aplikacija koja obrađuje podatke primenjuje unapred definisano pravilo ocene parametra ${\hat {\theta }}=f(m_{1}(x_{1}),\cdot ,m_{N}(x_{N}))$. Skup funkcija poruka $m_{n},\,1\leq n\leq N$ i pravilo spajanja $f(m_{1}(x_{1}),\cdot ,m_{N}(x_{N}))$ su definisani tako da smanje grešku ocene što je to više moguće. Na primer: minimizovanje matematičkog očekivanja $\mathbb {E} \|\theta -{\hat {\theta }}\|^{2}$.

Idealni slučaj bi bio da senzori prenose svoje podatke $x_{n}$ dobijene merenjem, direktno do centra za procesiranje tih podataka, tj. $m_{n}(x_{n})=x_{n}$. Pri ovakvim okolnostima, se metodom maksimalne verodostojnosti dobija ocena ${\hat {\theta }}={\frac {1}{N}}\sum _{n=1}^{N}x_{n}$ koja predstavlja nepristrasnu ocenu čije je matematičko očekivanje baš $\mathbb {E} \|\theta -{\hat {\theta }}\|^{2}={\text{var}}({\hat {\theta }})={\frac {\sigma ^{2}}{N}}$ uz pretpostavku da šumovi imaju normalnu (Gausovu) raspodelu $w_{n}\sim {\mathcal {N}}(0,\sigma ^{2})$. Sledeći odeljci izlažu alternativne dizajne kada su senzori ograničeni na propusni opseg 1-bitnog prenosa, tj. kada je $m_{n}(x_{n})$=0 ili 1.

Poznata funkcija raspodele verovatnoće šuma

Počinjemo sa primerom kada šum ima normalnu raspodelu, tj. $w_{n}\sim {\mathcal {N}}(0,\sigma ^{2})$, u kojem je predlog dizajna sistema sledeći

$m_{n}(x_{n})=I(x_{n}-\tau )={\begin{cases}1&x_{n}>\tau \\0&x_{n}\leq \tau \end{cases}}$

${\hat {\theta }}=\tau -F^{-1}\left({\frac {1}{N}}\sum \limits _{n=1}^{N}m_{n}(x_{n})\right),\quad F(x)={\frac {1}{{\sqrt {2\pi }}\sigma }}\int \limits _{x}^{\infty }e^{-w^{2}/2\sigma ^{2}}\,dw$

Ovde je $\tau$ parametar koji utiče na naše prethodno znanje o približnoj vrednosti parametra $\theta$. U ovom dizajnu, slučajna vrednost $m_{n}(x_{n})$ ima Bernulijevu raspodelu~$(q=F(\tau -\theta ))$. Centar za obradu podataka određuje aritmetičku sredinu od primljenih bitova zarad formiranja ocene ${\hat {q}}$ parametra $q$, koji se zatim koristi za nalaženje ocene parametra $\theta$. Može se dokazati da je pri optimalnom izboru parametra $\tau =\theta$ disperzija (varijansa) ocene baš ${\frac {\pi \sigma ^{2}}{4}}$ što je $\pi /2$ puta više od disperzije ocene dobijene metodom maksimalne verodostojnosti bez ograničenja propusnog opsega. Disperzija se povećava kada se $\tau$ udaljava od tačne vrednosti parametra $\theta$, ali može se pokazati da sve dok je $|\tau -\theta |\sim \sigma$ tada faktor matematičkog očekivanja ostaje približno 2. Izbor odgovarajuće vrednosti parametra $\tau$ je veliki nedostatak ove metode, jer naš model ne pretpostavlja prethodno znanje vrednosti parametra $\theta$. Za prevazilaženje ovog ograničenja može se koristiti gruba procena. Međutim, u svakom od senzora je u tom slučaju potrebno ubaciti dodatni hardver.

Nepoznati parametri šuma

Model šuma može biti nekad i dostupan dok tačni parametri funkcije raspodele nisu poznati (npr. Gausova funkcija raspodele sa nepoznatom disperzijom $\sigma$). Ideja predložena u za ovakve slučajeve jeste korišćenje dva praga $\tau _{1},\tau _{2}$, tako da su $N/2$ senzora postavljeni na osnovu $m_{A}(x)=I(x-\tau _{1})$, a ostalih $N/2$ senzora pomoću $m_{B}(x)=I(x-\tau _{2})$. Tada centar za obradu koristi sledeću ocenu:

${\hat {q}}_{1}={\frac {2}{N}}\sum \limits _{n=1}^{N/2}m_{A}(x_{n}),\quad {\hat {q}}_{2}={\frac {2}{N}}\sum \limits _{n=1+N/2}^{N}m_{B}(x_{n})$

${\hat {\theta }}={\frac {F^{-1}({\hat {q}}_{2})\tau _{1}-F^{-1}({\hat {q}}_{1})\tau _{2}}{F^{-1}({\hat {q}}_{2})-F^{-1}({\hat {q}}_{1})}},\quad F(x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int \limits _{x}^{\infty }e^{-v^{2}/2}dw$

Kao i ranije, potrebno je neko predznanje da bi se postavile vrednosti parametara $\tau _{1},\tau _{2}$ da bi dobili razumno matematičko očekivanje disperzije nepristrasne ocene dobijene metodom maksimalne verodostojnosti.

Nepoznata funkcija raspodele verovatnoće šuma

Sada opisujemo dizajn sistema iz za slučaj da je struktura funkcije raspodele šuma nepoznata. Sledeći model razmatra ovaj scenario:

$x_{n}=\theta +w_{n},\quad n=1,\dots ,N$

$\theta \in [-U,U]$

$w_{n}\in {\mathcal {P}},{\text{ где је }}w_{n}{\text{ из интервала }}[-U,U],\mathbb {E} (w_{n})=0$

Pored ovog, funkcije poruka su ograničene na oblik:

$m_{n}(x_{n})={\begin{cases}1&x\in S_{n}\\0&x\notin S_{n}\end{cases}}$

gde je svaki $S_{n}$ podskup segmenta $[-2U,2U]$. Odgovarajuća nepristrasna ocena ${\hat {\theta }}=\sum \limits _{n=1}^{N}\alpha _{n}m_{n}(x_{n})$ je tada linearna. Dizajn treba da odredi intervale poverenja $S_{n}$ i koeficijente $\alpha _{n}$. Intuitivno, treba alocirati $N/2$ senzora za kodiranje prvog bita parametra $\theta$ postavljajući njihove intervale poverenja da budu $[0,2U]$, zatim $N/4$ senzora bi kodiralo sledeći bit postavljajući intervale poverenja na $[-U,0]\cup [U,2U]$ itd. Može se pokazati da takvi intervali poverenja i odgovarajući skup koeficijenata $\alpha _{n}$ proizvode univerzalnu i nepristrasnu ocenu $\delta$, za koju važi $|\mathbb {E} (\theta -{\hat {\theta }})|<\delta$ za svaku vrednost parametra $\theta \in [-U,U]$ i za svaku vrednost $w_{n}\in {\mathcal {P}}$. Zapravo, ovaj intuitivan dizajn intervala poverenja je takođe i optimalan u smislu da zahteva da je broj senzora $N\geq \lceil \log {\frac {8U}{\delta }}\rceil$ koji bi zadovoljio univerzalnu nepristrasnost $\delta$ ocene dok teorijski argumenti pokazuju da bi optimalan (i složeniji) dizajn intervala poverenja zahtevao da je broj senzora $N\geq \lceil \log {\frac {2U}{\delta }}\rceil$, tj. ovo znači: broj senzora je gotovo optimalan. U se takođe tvrdi da ako se za ciljano matematičko očekivanje $\mathbb {E} \|\theta -{\hat {\theta }}\|\leq \epsilon ^{2}$ uzme dovoljno malo $\epsilon$, onda ovaj dizajn zahteva faktor 4 u broju senzora za postizanje iste disperzije nepristrasne ocene pri neograničenom protoku podataka.

Dodatne informacije

Dizajn niza senzora zahteva optimizovanu raspodelu električne energije, kao i minimizovanje komunikacionog saobraćaja celog sistema. Dizajn predložen u uljučuje probabilističku kvantizaciju u senzorima i jednostavan program optimizacije koji se izvršava u centralnom sistemu samo jednom. Centralni sistem zatim emituje skup parametara svim senzorima, koji im omogućava da se izavrše njihovi dizajniranje funkcija razmene poruka $m_{n}(\cdot )$ kako bi se zadovoljile energetske prepreke. Još jedan posao koristi sličan pristup u rešavanju problema distribuirane detekcije kod nizova bežičnih senzora.

Spoljašnje veze

• CodeBlue