Подскуп

Из Википедије, слободне енциклопедије
Ојлеров дијаграм који показује
A је подскуп скупа B
Венов дијаграм који показује
A је подскуп скупа B

У математици, а посебно у теорији скупова, скуп A је подскуп скупа B ако се A садржи унутар B. Притом A може бити једнак B.

Дефиниције[уреди]

Ако су A и B скупови, и сваки елемент из A такође елемент из B, онда:

  • A је подскуп скупа B, у ознаци A \subseteq B,
или еквивалентно
  • B је надскуп скупа A, у ознаци B \supseteq A.

Ако је A подскуп од B, али A није једнак B (то јест, постоји барем један елемент у B који не постоји у A), онда

  • A је такође прави подскуп од B; ово се записује као A\subsetneq B.
или еквивалентно
  • B је прави надскуп од A; ово се записује као B\supsetneq A.

За сваки скуп S, релација инклузије ⊆ је парцијално уређење на скупу 2S свих подскупова од S (партитивни скуп од S).

Симболи ⊂ и ⊃[уреди]

Понекад се записује A ⊂ B уместо A ⊆ B да се означи да је A подскуп од B. Слично, понекад се пише A ⊃ B да се означи да је A надскуп од B. По овој конвенцији, ако је све шта знамо да је A ⊂ B, још увек је могуће да су A и B једнаки скупови.

Некад се симболи ⊂ и ⊃ користе да означе праве подскупове или надскупове уместо \subsetneq и \supsetneq. Ово коришћење чини симболе ⊆ и ⊂ аналогне симболима ≤ и <. На пример, ако x ≤ y онда x може бити једнако y, али не мора, али ако је x < y, онда x сигурно није једнако y, већ је строго мање од y. Слично, ако се узме да ⊂ значи прави подскуп, онда ако A ⊆ B, следи да A може али не мора бити једнако B, али ако A ⊂ B, онда A сигурно није једнако B.

Примери[уреди]

  • Скуп {1, 2} је прави подскуп скупа {1, 2, 3}.
  • Сваки скуп је подскуп самог себе, али није прави подскуп самог себе.
  • Празан скуп, у ознаци ∅, је такође подскуп сваког датог скупа X. Празан скуп је увек прави подскуп, изузев себе самог.
  • Скуп {x : x је прост број већи од 2000} је прави подскуп скупа {x : x је непаран број већи од 1000}
  • Скуп природних бројева је прави подскуп скупа рационалних бројева, а скуп тачака на дужи је прави подскуп скупа тачака на правој на којој та дуж лежи. Ово су контраинтуитивни примери код којих су и део и целина бесконачни, и део има исти број елемената као целина.