Simpsonovo pravilo

Funkciju f(x) (plava) aproksimiramo uz pomoć kvadratne funkcije P(x) (crvena).

Simpsonovo pravilo nazvano tako po Tomasu Simpsonu je metoda iz numeričke analize kojom približno izračunavamo određen integral neke funkcije f(x), tj. interesuje nas aproksimacija $\int _{a}^{b}f(x)dx$.

Ideja

Simpsonova formula (ili pravilo) je u stvari deo Njutn-Kouts formula. Funkciju prvo aproksimiramo uz pomoć Lagranžovih polinoma drugog stepena, a posle umesto da izračunamo integral funkcije $f(x)$, izračunavamo integral dobijenog polinoma:

$f(x)\approx P(x)=\sum _{i=0}^{n=2}l_{i}(x)\cdot f(x_{i})$, pritom

$l_{i}(x)=\prod _{j=0,j\neq i}^{n}{\frac {x-x_{j}}{x_{i}-x_{j}}}$

Označimo početnu tačku integrala $a=x_{0}$, krajnju $b=x_{2}$, a tačku u sredini $m=x_{1}$ (obratiti pažnju na skicu sa strane) i dobićemo:

$P(x)=f(a){\frac {(x-m)(x-b)}{(a-m)(a-b)}}+f(m){\frac {(x-a)(x-b)}{(m-a)(m-b)}}+f(b){\frac {(x-a)(x-m)}{(b-a)(b-m)}}\approx f(x)$

Ovom prilikom nije prikazano kako se dolazi do konačne formule; račun nije težak i sastoji se od primene jednostavnih pravila za integrale (na primer, primena integrala na sumu):

$\int _{a}^{b}f(x)\,dx\approx \int _{a}^{b}P(x)\,dx={\frac {b-a}{6}}\left[f(a)+4f\left({\frac {a+b}{2}}\right)+f(b)\right]$

Kada se želi aproksimirati integral u intervalu od $a$ do $b$ tada će za to biti neophodne tri tačke date funkcije.

Greška u datom intervalu je:

$E_{S}=-{\frac {(b-a)^{5}}{90}}f^{(4)}(\xi )$, gde je $\xi \in [a,b]$.

Ukoliko želimo da nađemo najveću moguću grešku odnosno njenu granicu, dovoljno je maksimirati četvrti izvod funkcije za $\xi$:

$\left|E_{S}\right|\leq {\frac {(b-a)^{5}}{90}}\left|\max _{a\leq \xi \leq b}f^{(4)}(\xi )\right|$

Obzirom da greška zavisi od razmaka između tačaka kojima se vrši aproksimacija, a ako se označi taj razmak sa $h={\frac {b-a}{2}}$, može se reći, koristeći se O-notacijom da se greška nalazi $E_{S}={\mathcal {O}}(h^{5})$.

Složeno Simpsonovo pravilo

Ukoliko smo nezadovoljni aproksimacijom, jedan od načina za poboljšanje je da interval podelimo na više delova (manjih intervala) te da na svakom pojedinačno primenimo Simpsonovo pravilo i na kraju ih saberemo.

Označimo broj tačaka sa $n$, a razmak između njih sa $h={\frac {b-a}{n}}$ i dobićemo:

$\int _{a}^{b}f(x)\,dx\approx {\frac {h}{3}}{\bigg [}f(x_{0})+2\sum _{j=1}^{n/2-1}f(x_{2j})+4\sum _{j=1}^{n/2}f(x_{2j-1})+f(x_{n}){\bigg ]}$,

što takođe možemo napisati kao

$\int _{a}^{b}f(x)\,dx\approx {\frac {h}{3}}{\bigg [}f(x_{0})+4f(x_{1})+2f(x_{2})+4f(x_{3})+...+4f(x_{n-1})+f(x_{n}){\bigg ]}$

ili kao proizvod vektora ($f=(f(x_{0}),f(x_{1}),\dots ,f(x_{n})$ ):

$f\cdot (1,4,2,4,2,\dots ,2,4,1)^{T}$.

Greška za složeno Simpsonovo pravilo je:

$E_{S}=-{\frac {h^{4}}{180}}(b-a)f^{(4)}(\xi )$, $\xi \in [a,b]$

ili kada želimo da joj nađemo granicu:

$\left|E_{S}\right|\leq {\frac {h^{4}}{180}}(b-a)\left|\max _{a\leq \xi \leq b}f^{(4)}(\xi )\right|$

Takođe, kao što vidimo, formulu za Simpsonovo pravilo možemo izvesti i iz kombinacije trapezoidnog pravila i pravila pravougaonika ($Q_{S}(f)$ označava aproksimaciju integrala funkcije $f$ između datih $a$ i $b$, $Q_{T}(f)$ to isto za trapezoidno pravilo, a $Q_{R}(f)$ za pravilo pravougaonika):

$Q(f)={1 \over 3}(Q_{S}(f)+2Q_{T}(f))$

Adaptivno Simpsonovo pravilo

U praksi se ponekad susrećemo sa situacijama kada je neka funkcija u određenim oblastima „dosadna“ i čije integrale možemo da izračunamo vrlo lako sa malo tačaka (kada je funkcija relativno „ispeglana"), dok je u određenim oblastima vrlo promenljiva i tu nam za dobru aproksimaciju treba mnogo više tačaka.

Da bismo to postigli, koristićemo se taktikom "podeli pa vladaj":

1. Izračunaj središnu tačku datog intervala $[a,b]$: $m={\frac {b-a}{2}}$
2. Izračunaj aproksimaciju integrala za $[a,b]$ koristeći se Simpsonovim pravilom (nazovimo je $S_{[a,b]}$
3. Izračunaj aproksimacije za podeljen interval (označimo je $S_{[a,m]}$ i $S_{[m,b]}$) uz pomoć običnog Simpsonovog pravila.
4. Ukoliko smo zadovoljni razlikom $S_{[a,b]}-(S_{[a,m]}+S_{[m,b]})$, rezultat je $S_{[a,m]}+S_{[m,b]}$.
5. Ukoliko nismo, nastavimo dalje rekurzivno primenjujući adaptivno Simpsonovo pravilo na intervale $[a,m]$ i $[m,b]$, a rezultat je njihova suma.

Greška adaptivnog Simpsonovog pravila

Obeležimo rezultat adaptivnog Simpsonovog pravila primenjenog na intervalu $[a,b]\,$ za funkciju $f\,$ sa $S(a,b)\,$, a razmak između dveju tačaka sa $h={\frac {b-a}{2}}\,$ onda važi:

Za $h\,$: $\int _{a}^{b}f(x)dx=S(a,b)-{\frac {h^{5}}{90}}\cdot f^{(4)}(\xi )-{\mathcal {O}}(h^{7})$

Za ${\frac {h}{2}}$: $\int _{a}^{b}f(x)dx=S\left(a,{\frac {a+b}{2}}\right)+S\left({\frac {a+b}{2}},b\right)-\underbrace {2\cdot {\frac {(h/2)^{5}}{90}}} _{-{\frac {1}{16}}{\frac {h^{5}}{90}}}\cdot f^{(4)}({\tilde {\xi }})-{\mathcal {O}}(h^{7})$

Iz toga dalje zaključujemo, pod pretpostavkom $f^{(4)}(\xi )=f^{(4)}({\tilde {\xi }})$:

$S\left(a,{\frac {a+b}{2}}\right)+S\left({\frac {a+b}{2}},b\right)-{\frac {1}{16}}\left({\frac {h^{5}}{90}}\right)f^{(4)}(\xi )\approx S(a,b)-{\frac {h^{5}}{90}}f^{(4)}(\xi )$

$\Rightarrow {\frac {h^{5}}{90}}f^{(4)}(\xi )\approx {\frac {16}{15}}\left(S(a,b)-S\left(a,{\frac {a+b}{2}}\right)-S\left({\frac {a+b}{2}},b\right)\right)$

Tako možemo dalje doći do (razumno) približne vrednosti greške:

$\left|\int _{a}^{b}f(x)dx-S\left(a,{\frac {a+b}{2}}\right)-S\left({\frac {a+b}{2}},b\right)\right|\approx {\frac {1}{15}}\left|S(a,b)-S\left(a,{\frac {a+b}{2}}\right)-S\left({\frac {a+b}{2}},b\right)\right|$

Ova približna greška je vrlo zgodna kao kriterijum za kraj rekurzije.

Spoljašnje veze

• Hazewinkel Michiel, ur. (2001). „Simpson formula”. Encyclopaedia of Mathematics. Springer. ISBN 978-1556080104. 
• Weisstein, Eric W. „Simpson's Rule”. MathWorld. 
• Application of Simpson's Rule — Earthwork Excavation (Note: The formula described in this page is correct but there are errors in the calculation which should give a result of 569m3 and not 623m3 as stated)
• Simpson's 1/3rd rule of integration — Notes, PPT, Mathcad, Matlab, Mathematica, Maple at Numerical Methods for STEM undergraduate
• A detailed description of a computer implementation is described by Dorai Sitaram in Teach Yourself Scheme in Fixnum Days, Appendix C