Smanjeno uzorkovanje (obrada signala)

U digitalnoj obradi signala, smanjeno uzorkovanje i decimacija su izrazi povezani sa procesom ponovnog uzorkovanja u višestepenom digitalnom sistemu za obradu signala . Oba termina koriste različiti autori da bi opisali celokupan proces, koji uključuje filtriranje sa malim prolazima ili samo onaj deo procesa koji ne uključuje filtriranje.   Kada se proces sužavanja prikupljanjem uzoraka (decimacija) izvodi na nizu uzoraka signala ili druge kontinuirane funkcije, on omogućava približavanje sekvence koja bi se dobila uzorkovanjem signala nižom brzinom (ili gustinom, kao u slučaju fotografija). Faktor decimacije je obično ceo broj ili racionalni broj veći od jedan. Ovaj faktor množi interval uzorkovanja ili, ekvivalentno, deli brzinu uzorkovanja. Na primer, ako se zvuk kompaktnog diska pri 44.100 uzoraka po sekundi smanji na faktor 5/4, dobijena brzina uzorka je 35.280. Sistemska komponenta koja vrši decimaciju naziva se decimator .

Smanjivanje broja prema celom faktoru

Smanjenje stope za ceo faktor M može se objasniti kao proces od dva koraka, sa ekvivalentnom implementacijom koja je efikasnija:

1. Smanjiti visokofrekventne komponente signala pomoću digitalnog filtra za niske frekvencije.
2. Primeniti decimaciju na filtrirani signal pomoću M faktora; ovo znači, čuvati jedino svaki M-ti uzorak. Notacija za ovu operaciju je:  $x[Mn]={x[n]}_{\downarrow {}M}.$

Korak 2 samostalno omogućava da visokofrekventne komponente signala budu pogrešno protumačene od strane naknadnih korisnika podataka, što je oblik izobličenja koji se naziva otuđenje (alijasing) . Korak 1, po potrebi, potiskuje alijasing na prihvatljiv nivo. U ovoj se aplikaciji filter naziva anti-aliasing filter, a o njegovom dizajnu se govori u nastavku.

Kada je filter za ublažavanje pod uticajem dizajna beskonačnog impulsnog odziva, oslanja se na povratnu informaciju od izlaza do ulaza, pre drugog koraka. Sa filtriranjem konačnog impulsnog odziva, to je lako pitanje da izračuna samo svaki M-ti izlaz. Proračun izvršen decimirajućim FIR filterom za n-ti izlazni uzorak je skalarni proizvod:

$y[n]=\sum _{k=0}^{K-1}x[nM-k]\cdot h[k],$

gde je h[•] niz impulsni odziv, a K njegova dužina. K [•] predstavlja ulazni niz koji se prikazuje u uzorku. U računaru opšte namene, posle računanja y[n], najlakši način izračunavanja y[n+1] je napredovanje početnog indeksa x [•] u polju M i ponovno izračunavanje skalarnog proizvoda. U slučaju M = 2, h[•] može se oblikovati kao polupojasni filter, pri čemu je gotovo polovina koeficijenata jednaka nuli i ne treba ih uključiti u skalarne proizvode.

Koeficijenti odziva impulsa uzeti u intervalima od M formiraju naknadnu podređenost, a tu je i M takvih naknadnih faza (faza). Skalarni proizvod je zbir tačaka proizvoda svake sekvence sa odgovarajućim uzorcima x[•] sekvence. Pored toga, zbog smanjenog uzorkovanja od strane M, tok x[•] uzoraka koji su uključeni u bilo koji od proizvoda M skalara nikada nije uključen u ostale skalarne proizvode. Tako M FIR filteri niskog reda filtriraju jednu od M multipleksiranih faza ulaznog toka, a M izlazi se sabiraju. Ovo gledište nudi drugačiju implementaciju koja bi mogla biti od koristi u arhitekturi više procesora. Drugim rečima, ulazni tok se demultipleksira i šalje kroz banku M filtera čiji se rezultati zbrajaju. Kada se implementira na taj način, naziva se polifazni filter.

Za potpunost sada spominjemo da je moguća, ali malo verovatna, primena svake faze zamenom koeficijenata ostalih faza sa nulama u kopiji h[•] matrice, obraditi originalni x[•] niz na ulazu stopu i smanjite izlaz za faktor M. Ekvivalentnost ove neefikasne metode i gore opisane primene poznat je kao prvi plemeniti identitet .

Sl. 1: Spektralni efekti decimacije u poređenju sa 3 popularne frekvencije skale

Filter protiv ublažavanja

Zahtevi filtera za ublažavanje mogu se zaključiti iz bilo kojeg od tri para grafova na slici 1. Valja imati na umu da su sva tri para identična, osim jedinica promenljivih apscisi. Gornji graf svakog para je primer periodične raspodeljene frekvencije uzorkovane funkcije, x(t), sa Furijeovom transformacijom, H(f). Donji graf je nova distribucija koja nastaje kada se x(t) uzorkuje tri puta sporije, ili (ekvivalentno) kada se originalna sekvenca uzorka decimira faktorom M = 3. U sva tri slučaja, uslov koji osigurava da se kopije H(f) ne preklapaju jednake: $B<{\tfrac {1}{M}}\cdot {\tfrac {1}{2T}},$  gde je T interval između uzoraka, 1/T je stopa uzorkovanja, a 1/(2 T ) je Nikvistova frekvencija . Filter protiv ublažavanja koji može osigurati ispunjenje uslova ima frekvenciju isključivanja manju od ${\tfrac {1}{M}}$ puta nikvističke frekvencije.

Apscisa gornjeg para grafova predstavlja diskretnu vremensku Furijeovu transformaciju (DTFT), koja predstavlja Furijeov niz periodičnog sabiranja H(f):

$\underbrace {\sum _{n=-\infty }^{\infty }\overbrace {x(nT)} ^{x[n]}\ \mathrm {e} ^{-\mathrm {i} 2\pi fnT}} _{\text{DTFT}}={\frac {1}{T}}\sum _{k=-\infty }^{\infty }X{\Bigl (}f-{\frac {k}{T}}{\Bigr )}.$

(Eq.1)

Kada se T izražava u sekundama, $\scriptstyle f$ ima jedinice herca . Zamena T sa MT u gornjim formulama daje DTFT decimiranoj sekvenci, x[nM]:

$\sum _{n=-\infty }^{\infty }x(n\cdot MT)\ \mathrm {e} ^{-\mathrm {i} 2\pi fn(MT)}={\frac {1}{MT}}\sum _{k=-\infty }^{\infty }X\left(f-{\tfrac {k}{MT}}\right).$

Periodično sumiranje je smanjeno u amplitudi i periodičnosti za faktor M, kao što je prikazano na drugom grafu sa slike 1. Alijasing se događa kada se susedne kopije H(f) preklapaju. Svrha filtera protiv ublaživanja jeste da osigura da smanjena periodičnost ne stvara preklapanje.

U srednjem paru grafova, promenljiva frekvencija, $\scriptstyle f,$ je zamenjena normalizovanom frekvencijom, što stvara periodičnost od 1 i Nikvistovu frekvenciju od ½.   Uobičajena praksa u programima dizajniranja filtera je pretpostaviti te vrednosti i zatražiti samo odgovarajuću frekvenciju isključivanja u istim jedinicama. Drugim rečima, frekvencija preseka $B_{max}={\tfrac {1}{M}}\cdot {\tfrac {1}{2T}},$ se normalizuje na $TB_{max}={\tfrac {1}{M}}\cdot {\tfrac {1}{2}}={\tfrac {0.5}{M}}.$  Jedinice ove količine su (sekundi / uzorak) × (ciklusi / sekundi) = ciklusi / uzorak.

Donji par grafova predstavlja Z- transformacije originalnih sekvenci i desetkovanu sekvencu, ograničene na vrednosti složene promenljive, z, oblika $z=\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \omega }.$  Tada transformacija x[n] sekvence ima oblik Furijeove serije. Poređenjem sa izrazom 1, zaključujemo:

$\sum _{n=-\infty }^{\infty }x[n]\ z^{-n}=\sum _{n=-\infty }^{\infty }x(nT)\ \mathrm {e} ^{-\mathrm {i} \omega n}={\frac {1}{T}}\sum _{k=-\infty }^{\infty }\underbrace {X{\Bigl (}{\tfrac {\omega }{2\pi T}}-{\tfrac {k}{T}}{\Bigr )}} _{X{\Bigl (}{\frac {\omega -2\pi k}{2\pi T}}{\Bigr )}},$

što je prikazan petim grafom na slici 1.   Slično tome, šesti grafikon prikazuje:

$\sum _{n=-\infty }^{\infty }x[nM]\ z^{-n}=\sum _{n=-\infty }^{\infty }x(nMT)\ \mathrm {e} ^{-\mathrm {i} \omega n}={\frac {1}{MT}}\sum _{k=-\infty }^{\infty }\underbrace {X{\Bigl (}{\tfrac {\omega }{2\pi MT}}-{\tfrac {k}{MT}}{\Bigr )}} _{X{\Bigl (}{\frac {\omega -2\pi k}{2\pi MT}}{\Bigr )}}.$

Faktor racionalizacije

Neka M/L označava faktor decimacije, gde je: M, L ∈ ℤ; M>L.

1. Povećati (ponovo uzorkovati) sekvencu za faktor L. To se naziva prekomponovanje ili interpolacija.
2. Desetkovati faktorom M

U koraku 1 potreban je filter niskog propusnog opsega nakon povećanja ( proširenja ) brzine prenosa podataka, a korak 2 zahteva filtar niskog propusnog nivoa pre decimacije. Stoga se obe operacije mogu izvesti jednim filtrom sa nižom od dve rezne frekvencije. Za slučaj da je M>L slučaj, presek filtera protiv ublažavanja,  ${\tfrac {0.5}{M}}$ ciklusa po intermedijarnom uzorku, je niža frekvencija.

Faktor iracionalizacije

Tehnike deciminacije (i generalno pretvaranje brzine uzorka) faktorom R ∈ ℝ ⁺ uključuju polinomnu interpolaciju i Faroovu strukturu .

Kombinovane metode desetkovanja(decimacije)

Važan faktor u razvoju digitalnih antenskih nizova za radare i velike MIMO sisteme (sistemi sa više ulaza i više izlaza) je potreba za smanjenjem troškova po kanalu. Kombinovanje postupka desetkovanja ne samo sa anti-alijasing filterom, već i sa digitalnim pomicanjem frekvencije i I/Q-demodulacijom takođe može pomoći da se smanji ovaj trošak.

U jednostavnijem slučaju decimacije ortogonalnog multipliciranog frekventnog signala celim faktorom M, može se koristiti sledeći algoritam:

$y[n]=\sum _{k=0}^{M-1}x[nM+k]\ \mathrm {e} ^{-\mathrm {i} 2\pi fkT},n=0,1,..,N$ ,

gde $T$ je interval između uzoraka signala i $f$ je centralna noseća frekvencija ortogonalnog multipliciranog frekventnog signala.

Ovaj algoritam predstavlja samo jedan filter potpune diskretne Furijeove transformacije i može biti koristan za desetkovanje uzoraka u analogno-digitalnom konvertoru pre digitalnog oblikovanja snopa u digitalnim antenskim nizovima.

Ako je potrebno efikasnije filtriranje, ali ova metoda može biti modifikovana tako da proizvodi :

$y[n]=\sum _{k=0}^{M-1}x[nM+k]h[k]\ \mathrm {e} ^{-\mathrm {i} 2\pi fkT},n=0,1,..,N$ .

Vidi još

• Proces širenja prikupljanjem uzoraka
• Posterizacija
• Konverzija stope uzorka

Dodatna literatura

• Oppenheim, Alan V.; Schafer, Ronald W.; Buck, John R. (1999). Discrete-Time Signal Processing (2. izd.). Prentice Hall. ISBN 0-13-754920-2.  Oppenheim, Alan V.; Schafer, Ronald W.; Buck, John R. (1999). Discrete-Time Signal Processing (2. izd.). Prentice Hall. ISBN 0-13-754920-2.  Oppenheim, Alan V.; Schafer, Ronald W.; Buck, John R. (1999). Discrete-Time Signal Processing (2. izd.). Prentice Hall. ISBN 0-13-754920-2. 
• Proakis, John G. (2000). Digital Signal Processing: Principles, Algorithms and Applications (3. izd.). India: Prentice-Hall. ISBN 8120311299.  Proakis, John G. (2000). Digital Signal Processing: Principles, Algorithms and Applications (3. izd.). India: Prentice-Hall. ISBN 8120311299.  Proakis, John G. (2000). Digital Signal Processing: Principles, Algorithms and Applications (3. izd.). India: Prentice-Hall. ISBN 8120311299. 
• Lyons, Richard (2001). Understanding Digital Signal Processing. Prentice Hall. str. 304. ISBN 0-201-63467-8. „Decreasing the sampling rate is known as decimation.”  Lyons, Richard (2001). Understanding Digital Signal Processing. Prentice Hall. str. 304. ISBN 0-201-63467-8. „Decreasing the sampling rate is known as decimation.”  Lyons, Richard (2001). Understanding Digital Signal Processing. Prentice Hall. str. 304. ISBN 0-201-63467-8. „Decreasing the sampling rate is known as decimation.” 
• Antoniou, Andreas (2006). Digital Signal Processing. McGraw-Hill. str. 830. ISBN 0-07-145424-1. „Decimators can be used to reduce the sampling frequency, whereas interpolators can be used to increase it.”  Antoniou, Andreas (2006). Digital Signal Processing. McGraw-Hill. str. 830. ISBN 0-07-145424-1. „Decimators can be used to reduce the sampling frequency, whereas interpolators can be used to increase it.”  Antoniou, Andreas (2006). Digital Signal Processing. McGraw-Hill. str. 830. ISBN 0-07-145424-1. „Decimators can be used to reduce the sampling frequency, whereas interpolators can be used to increase it.” 
• Milic, Ljiljana (2009). Multirate Filtering for Digital Signal Processing. New York: Hershey. str. 35. ISBN 978-1-60566-178-0. „Sampling rate conversion systems are used to change the sampling rate of a signal. The process of sampling rate decrease is called decimation, and the process of sampling rate increase is called interpolation.”  Milic, Ljiljana (2009). Multirate Filtering for Digital Signal Processing. New York: Hershey. str. 35. ISBN 978-1-60566-178-0. „Sampling rate conversion systems are used to change the sampling rate of a signal. The process of sampling rate decrease is called decimation, and the process of sampling rate increase is called interpolation.”  Milic, Ljiljana (2009). Multirate Filtering for Digital Signal Processing. New York: Hershey. str. 35. ISBN 978-1-60566-178-0. „Sampling rate conversion systems are used to change the sampling rate of a signal. The process of sampling rate decrease is called decimation, and the process of sampling rate increase is called interpolation.” 
• Harris, Frederic J. (24. 5. 2004). „2.2”. Multirate Signal Processing for Communication Systems. Upper Saddle River, NJ: Prentice Hall PTR. str. 20—21. ISBN 0131465112. „The process of down sampling can be visualized as a two-step progression indicated in Figure 2.9. The process starts as an input series x(n) that is processed by a filter h(n) to obtain the output sequence y(n) with reduced bandwidth. The sample rate of the output sequence is then reduced Q-to-1 to a rate commensurate with the reduced signal bandwidth.”  Harris, Frederic J. (24. 5. 2004). „2.2”. Multirate Signal Processing for Communication Systems. Upper Saddle River, NJ: Prentice Hall PTR. str. 20—21. ISBN 0131465112. „The process of down sampling can be visualized as a two-step progression indicated in Figure 2.9. The process starts as an input series x(n) that is processed by a filter h(n) to obtain the output sequence y(n) with reduced bandwidth. The sample rate of the output sequence is then reduced Q-to-1 to a rate commensurate with the reduced signal bandwidth.”  Harris, Frederic J. (24. 5. 2004). „2.2”. Multirate Signal Processing for Communication Systems. Upper Saddle River, NJ: Prentice Hall PTR. str. 20—21. ISBN 0131465112. „The process of down sampling can be visualized as a two-step progression indicated in Figure 2.9. The process starts as an input series x(n) that is processed by a filter h(n) to obtain the output sequence y(n) with reduced bandwidth. The sample rate of the output sequence is then reduced Q-to-1 to a rate commensurate with the reduced signal bandwidth.” 
• Tan, Li (21. 4. 2008). „Upsampling and downsampling”. eetimes.com. EE Times. Pristupljeno 10. 4. 2017. „The process of reducing a sampling rate by an integer factor is referred to as downsampling of a data sequence. We also refer to downsampling as decimation. The term decimation used for the downsampling process has been accepted and used in many textbooks and fields.” 
• T. Šilher. RF aplikacije u digitalnoj obradi signala // "Digitalna obrada signala". Zbornik radova, Škola ubrzanja CERN-a, Sigtuna, Švedska, 31. maj-9. jun 2007. - Ženeva, Švajcarska: CERN (2008). - P. 258. - DOI: 10.5170 / CERN-2008-003. [1]
• Sliusar II, Sliusar VI, Voloshko SV, Smoliar VG Optički pristup sledeće generacije zasnovan na N-OFDM sa decimacijom. Nauka i tehnologija (PIC S & T'2016) “. - Harkov. - 3. - 6. oktobar 2016. [2]
• Saska Lindfors, Aarno Parssinen, Kari AI Halonen. 3-V CMOS podnasvajač CMOS decimacije. // IEEE transakcije na sklopovima i sistemima - Vol. 52, br. 2, februar 2005. - P. 110.