Фуријеов ред

Из Википедије, слободне енциклопедије

Фуријеов ред је математичка операција којом се периодична функција разлаже на своје „спектралне компоненте“ ради једноставније анализе. Неколико првих чланова таквог развоја се у техници често узимају као веома корисна врста апроксимације.

Дискретна Фуријеова трансформација претвара дискретне вредности (вектор) у Фуријеове коефицијенте. Непрекидна Фуријеова трансформација ради то исто са функцијом. Назив је добила по француском математичару Жозефу Фуријеу (1768-1830).

Математичка основа[уреди]

Узмимо неку периодичну функцију f(t)\, са периодом T, за коју важи f(t+T) = f(t)\,. Због периодичности можемо да је разделимо на N синус и косинус функција:

 f(t) = A_0 + A_1 \cos(\omega t + \varphi_1) + A_2 \cos(2 \omega t + \varphi_2) + \ldots + A_N \cos(N \omega t + \varphi_N)= \sum_{n=0}^N A_n \cos (n \omega t + \varphi_n).
, \omega := 2 \cdot \pi \cdot freq, где је freq основна фреквенција, односно хармоник.

Треба имати на уму да је синус само косинус са фазним померајем:

 f(t)=\sum_{n=0}^N A_n \cos (n \omega t + \varphi_n)
=A_0+\sum_{n=1}^N (A_n\cos \varphi_n\cdot\cos(n \omega t)-A_n\sin \varphi_n\cdot\sin(n \omega t))

Када дефинишемо a_0:=A_0\,, а потом a_n:=A_n\cos \varphi_n и b_n:=A_n\sin \varphi_n добијамо исти израз, овог пута без фазе:

 f(t) = a_0+\sum_{n=1}^N (a_n \cos(n \omega t) - b_n\sin(n\omega t)).

Зашто се не узима tan или рецимо cosh? Зашто баш cos и sin? Разлог је ортогоналност sin и cos функција. cos(t) \cdot sin(t) = \int_{0}^{2\pi} cos(t) \cdot sin(t) {d}t = 0

Идеја иза фуријеове трансформације је следећа: цео простор који има „нормалне“ осе трансформишемо у простор у коме су нове ортогоналне осе косинус и синус таласи и њихови виши хармоници. Сигнал који трансформишемо је само једна тачка (месни вектор), а вредности на свакој оси су амплитуде сваког хармоника појединачно ([A_0,\ldots,A_N]).

Сада се укључује Ојлеров идентитет уз помоћ кога ове тригонометријске функције можемо да заменимо комплексним панданима:

 \cos (x) = \frac{1}{2} \left(e^{\mathrm{i}x} + e^{-\mathrm{i}x} \right) и  \sin (x) = \frac{1}{2 \mathrm{i}} \left(e^{\mathrm{i}x} - e^{-\mathrm{i}x} \right)

Из тога даље следи

 f(t) = a_0+\sum_{n=1}^N \frac12 \left(a_n (e^{\mathrm{i}n \omega  t} + e^{-\mathrm{i}n \omega  t}) - { 1 \over \mathrm{i} } b_n (e^{\mathrm{i}n \omega  t} - e^{-\mathrm{i}n \omega  t})\right)
 = a_0+\sum_{n=1}^N \frac12 \left(a_n (e^{\mathrm{i}n \omega  t} + e^{-\mathrm{i}n \omega  t})+\mathrm{i}b_n (e^{\mathrm{i}n \omega  t} - e^{-\mathrm{i}n \omega  t})\right)

 = a_0+\sum_{n=1}^N \frac12\left((a_n+\mathrm{i}b_n)e^{\mathrm{i}n \omega  t}+(a_n-\mathrm{i}b_n)e^{-\mathrm{i}n \omega  t}\right)

Заменимо реалне коефицијенте комплексним:

c_0:=a_0\,, c_n:=\frac12(a_n+\mathrm{i}b_n) и c_{-n}:=\frac12(a_n-\mathrm{i}b_n) = \overline{c_n}

добијамо суму са негативним индексима:


f(t) = \sum_{k=-N}^{N} c_ke^{\mathrm{i}k \omega  t }

Такође, не треба губити из вида да су e^{\mathrm{i}jt} функције исто ортонормалне базе (сваки вектор који представља осу има дужину 1 и нормалан је у односу на све остале векторе):

У случају j = k

(e^{ \mathrm{i} j t}, e^{ \mathrm{i} j t}) = \frac{1}{2 \pi} \int_0^{2\pi} e^{ \mathrm{i} j t} \overline {e^{ \mathrm{i} j t} } dt =  \frac{1}{2 \pi} \int_0^{2\pi} e^{ \mathrm{i} j t} e^{ -\mathrm{i} j t} dt
= \frac{1}{2 \pi} \int_0^{2\pi} 1 dt = 1

А за j \neq k важи:

(e^{ \mathrm{i} j t}, e^{ \mathrm{i} k t}) = \frac{1}{2 \pi} \int_0^{2\pi} e^{ \mathrm{i} j t} \overline {e^{ \mathrm{i} k t} } dt =  \frac{1}{2 \pi} \int_0^{2\pi} e^{ \mathrm{i} j t} e^{ -\mathrm{i} k t} dt
= \frac{1}{2 \pi} \int_0^{2\pi} e^{ \mathrm{i} (j-k) t}
 = \frac{1}{2 \pi \mathrm{i} (j - k)} \left[ e^{ \mathrm{i}(j-k) t} \right]_0^{2 \pi}
= \frac{1}{2 \pi \mathrm{i} (j-k)} \left (e^{\mathrm{i} (j-k) 2\pi} - 1 \right) =
= \frac{1}{2 \pi \mathrm{i} (j-k)} \cdot 0 = 0

Фуријеови редови[уреди]

Но, желимо сада да неку периодичну и непрекидну функцију приближно израчунамо уз помоћ суме тригонометријских функција (конкретно: косинуса и синуса). Видели смо како можемо да дођемо до c_j; горњу једначину множимо са e^{-\mathrm{i} m \omega t} и напослетку интегришемо са обе стране по интервалу [0,T] односно у трајању једне периоде:

  
e^{-\mathrm{i} m \omega t} f(t)  = \sum_{n=-N}^N c_n \left(e^{\mathrm{i}(n \omega t)} e^{-\mathrm{i} m \omega t} \right)
= \sum_{n=-N-m}^{N-m} c_{n+m} e^{\mathrm{i} (n+m) \omega t - \mathrm{i} m\omega t} =\sum_{n=-N-m}^{N-m} c_{n+m} e^{\mathrm{i} n \omega t }

\Leftrightarrow \int_0^T e^{-\mathrm{i} m \omega t} f(t) dt= \sum_{n=-N-m}^{N-m}  c_{n+m} \int_0^T  e^{\mathrm{i} n \omega t } dt

За интеграле са десне стране важи:

када је n=0:  \int_0^T e^{\mathrm{i} 0 \omega t } dt = \int_0^T e^0 = \left[ 1 \right]_0^T = T
а када је n≠0:  \int_0^T e^{\mathrm{i} n \omega t } dt = \left[ \frac1{\mathrm{i}n \omega } e^{\mathrm{i} n\omega t} \right]_0^T = \frac1{\mathrm{i}n \omega } (e^{\mathrm{i} n\omega T } - 1)

Из  \omega T=2\pi следи e^{ \mathrm{i}n\omega T}=(e^{2\pi \mathrm{i}})^n=1, а то даље можемо да применимо на горе наведени интеграл:

 \int_0^T e^{\mathrm{i} n \omega t } dt = 0

На крају се цела рачуница упрошћава:

\int_0^T f(t) e^{-\mathrm{i} m \omega t} dt = \sum_{n=-N-m}^{N-m}  c_{n+m} \int_0^T  e^{\mathrm{i}n \omega t} dt
= \sum_{n=-N-m}^{-1} c_{n+m}\int_0^T  e^{\mathrm{i}n \omega t} dt + c_m \cdot \int_0^T  e^{\mathrm{i} 0 \omega t} dt + \sum_{n=1}^{N-m} c_{n+m}\int_0^T  e^{\mathrm{i}n \omega t} dt
= 0 + c_mT + 0 = c_mT = \int_0^T f(t) e^{-\mathrm{i} m \omega t} dt


 \Leftrightarrow c_m = \frac1T \int_0^T f(t) e^{-\mathrm{i} m \omega t} dt.

У целом рачуну нека нас не збуњује коришћење променљиве m, њена сврха је пуко упрошћавање једначине. Све је стога само досетљивост, односно уметност како написати једно те исто на другачији начин.

На крају, Фуријеов ред дефинишемо:

f_N(t)=\sum_{n=-N}^N c_ne^{in\omega t}

Конвергентност Фуријеовог реда[уреди]

Фуријеов ред конвергира ка многим функцијама; ту спадају поред осталих све функције које имају извод или су квадратно интеграбилне (L2 простор).

Претпоставимо да је f(t) једна таква функција. Када наместимо N \rightarrow \infty, онда она такође може да се напише и овако:


f(t) 
= \sum_{n=-N}^N c_n e^{ \mathrm{i} n \omega t }
= \sum_{n=-N}^N \frac1T (\int_0^T f(t) e^{-\mathrm{i} n \omega t} dt) \cdot e^{ \mathrm{i} n \omega t }
= \sum_{n=-N}^N \frac{ e^{ \mathrm{i} n \omega t }}{ T } \cdot \int_0^T f(t) e^{-\mathrm{i} n \omega t} dt

f(t) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} \frac{ e^{ \mathrm{i} n \omega t }}{ T } \cdot \int_0^T f(t) e^{-\mathrm{i} n \omega t} dt

Види још[уреди]

Литература[уреди]

  • William E. Boyce and Richard C. DiPrima (2005). Elementary Differential Equations and Boundary Value Problems (8th ed.). New Jersey: John Wiley & Sons, Inc.. ISBN 978-0-471-43338-5. 
  • Joseph Fourier, translated by Alexander Freeman (published 1822, translated 1878, re-released 2003). The Analytical Theory of Heat. Dover Publications. ISBN 978-0-486-49531-6.  2003 unabridged republication of the 1878 English translation by Alexander Freeman of Fourier's work Théorie Analytique de la Chaleur, originally published in 1822.
  • Enrique A. Gonzalez-Velasco (1992). „Connections in Mathematical Analysis: The Case of Fourier Series“. American Mathematical Monthly 99 (5): 427-441. DOI:10.2307/2325087. 
  • Katznelson, Yitzhak (1976). An introduction to harmonic analysis (Second corrected ed.). New York: Dover Publications, Inc. ISBN 978-0-486-63331-2. 
  • Felix Klein, Development of mathematics in the 19th century. Mathsci Press Brookline, Mass, 1979. Translated by M. Ackerman from Vorlesungen über die Entwicklung der Mathematik im 19 Jahrhundert, Springer, Berlin, 1928.
  • Walter Rudin (1976). Principles of mathematical analysis (3rd ed.). New York: McGraw-Hill, Inc.. ISBN 978-0-07-054235-8. 
  • A. Zygmund (2002). Trigonometric series (third ed.). Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-89053-3.  The first edition was published in 1935.