Tautologija (logika)

Tautologija je u terminologiji iskaznog računa, iskazna formula koja je istinita za svaku kombinaciju parametara formule. Jednostavnije govoreći, tautologija je izraz koji je uvijek tačan, bez obzira na okolnosti.

Na primjer, iskazna formula $A\lor \lnot A$ (čita se „iskaz A je tačan ili je izraz suprotan od A tačan“, ili kraće „tačno je A ili ne A“, ili još kraće „A ili ne A“) je uvijek tačna za svaki iskaz $A$; jer, pojednostavljeno govoreći, svaki iskaz je ili tačan ili netačan.

Pojam suprotan tautologiji se naziva kontradikcija, koja je uvijek netačna za svaku svoju dodjelu parametara.

Čest posao u logici je provjeravanje da li je data iskazana formula tautologija ili ne. Jedna od metoda provjeravanja da li je formula tautologija je ispisivanje istinitosne tablice za dati izraz. Istinitosna tablica se sastoji od svih kombinacija parametara formule i izračunatih vrijednosti formule za te parametre. Na primjer, ako iskazna formula glasi $p\land q$, tada i izraz $p$ i izraz $q$ u različitim situacijama mogu biti ili tačni ili netačni. Nekad je $p$ tačno, a $q$ netačno, nekad obrnuto, nekad su oba tačna itd. Za takve različite kombinacije, istinitosna tabela predstavlja vrijednost kompletnog izraza:

$p$	$q$	$p\land q$
$\top$	$\top$	$\top$
$\top$	$\bot$	$\bot$
$\bot$	$\top$	$\bot$
$\bot$	$\bot$	$\bot$

iz tabele vidimo da iskaz $p\land q$ nije tautologija. Naravno, ukoliko ustanovimo da su sve vrijednosti u posljednjoj koloni jednake $\top$, onda je iskaz tačan u svim slučajevima tj. iskaz je tautologija. Istinitosna tabela za spomenuti iskaz $p\lor \lnot q$ bi izgledala na sljedeći način:

$p$	$\lnot p$	$p\lor \lnot p$
$\top$	$\bot$	$\top$
$\bot$	$\top$	$\top$

Iz ove tabele uviđamo da je taj iskaz zaista tautologija.

Istorija

Riječ tautologija je nastala od grčke riječi ταυτολογία, koja je kod starih Grka označavala iskaz koji je tačan samo zato što je ponavljan više puta (npr. u analogiji sa srpskom poslovicom „sto puta rečena laž postaje istina“). Iako je zbog toga riječ imala pogrdnu konotaciju, od 19. vijeka ta riječ je dobila novo značenje, bez pogrdne konotacije, označavajući iskaze čija je vrijednost uvijek „tačno“.

Neke bitnije tautologije

• $p\Rightarrow p$ - zakon refleksivnosti za implikaciju
• $p\vee \neg p$ - zakon isključenja trećeg
• $\neg (p\wedge \neg p)$ - zakon neprotivurečnosti
• $\neg \neg p\Rightarrow p$ - zakon dvojne negacije
• 1. $p\wedge p\Leftrightarrow p$ - idempotentnost konjunkcije
  2. $p\vee p\Leftrightarrow p$ - idempotentnost disjunkcije
• 1. $p\wedge q\Leftrightarrow q\wedge p$ - komutativnost konjunkcije
  2. $p\vee q\Leftrightarrow q\vee p$ - komutativnost disjunkcije
• 1. $(p\wedge q)\wedge r\Leftrightarrow p\wedge (q\wedge r)$ - asocijativnost konjunkcije
  2. $(p\vee q)\vee r\Leftrightarrow p\vee (q\vee r)$ - asocijativnost disjunkcije
• 1. $p\wedge (q\vee r)\Leftrightarrow (p\wedge q)\vee (p\wedge r)$ - distributivnost konjunkcije
  2. $p\vee (q\wedge r)\Leftrightarrow (p\vee q)\wedge (p\vee r)$ - distributivnost disjunkcije
• $(p\Rightarrow q)\Leftrightarrow (\neg q\Rightarrow \neg p)$ - zakon kontrapozicije
• 1. $\neg (p\wedge q)\Leftrightarrow \neg p\vee \neg q$ - De Morganov zakon za konjunkciju
  2. $\neg (p\vee q)\Leftrightarrow \neg p\wedge \neg q$ - De Morganov zakon za disjunkciju
• $(\neg p\Rightarrow (q\wedge \neg q))\Rightarrow p$ - svođenje na protivurečnost
• 1. $p\wedge (p\vee q)\Leftrightarrow p$ - apsorpcija
  2. $p\vee (p\wedge q)\Leftrightarrow p$ - apsorpcija
• $(p\wedge (p\Rightarrow q))\Rightarrow q$ - modus ponens
• $((p\Rightarrow q)\Rightarrow p)\Rightarrow p$ - Pirsov zakon

Vidi još

• Valjanost

Spoljašnje veze

• „Tautologija“ na MathWorld.com