Teorema potpune verovatnoće

Teorema potpune verovatnoće je pojam iz verovatnoće. Koristi se za izračunavanje verovatnoće nekog događaja u odnosu na njegov potpun sistem hipoteza.

Potpun sistem hipoteza

Ako za uzajamno isključive događaje $H_{1}$, ... , $H_{n}$ i događaj $A$ važi:

$A\subset H_{1}\cup ...\cup H_{n}$

tada se kaže da događaji $H_{1}$, ... , $H_{n}$ čine potpun sistem hipoteza u odnosu na događaj $A$.

Na primer, ako imamo događaje $A$ i $B$, tada su događaj $B$ i njemu suprotan događaj $B'$ zapravo potpun sistem hipoteza u odnosu na događaj $A$, jer svakako važi $A\subset B\cup B'$.

Teorema potpune verovatnoće

Ako događaji $H_{1}$, ... , $H_{n}$ čine potpun sistem hipoteza u odnosu na događaj A, odnosno, ako je $\sum _{i=1}^{n}H_{i}=\Omega$ gde je $\Omega$ skup svih mogućih elementarnih događaja, tada važi teorema potpune verovatnoće:

$P(A)=\sum _{i=1}^{n}P(A\mid H_{i})P(H_{i})$

Dokaz teoreme sledi iz činjenice da za potpun sistem hipoteza važi:

$A=(AH_{1})\cup ...\cup (AH_{n})$

gde je $AH_{1}$ skraćeni zapis $A\cap H_{1}$. Na osnovu ovoga, kako su događaji $H_{1}$, ... , $H_{n}$ uzajamno isključivi, važi: $P(A)=P(AH_{1})+...+P(AH_{n})$

Dalje se primenom pravila uslovne verovatnoće dobija teorema potpune verovatnoće.

Vidi još

• Verovatnoća
• Teorija verovatnoće
• Uslovna verovatnoća
• Bajesova formula

Literatura

• Ivković, Zoran (1986). Teorija verovatnoća sa matematičkom statistikom (III izd.). Beograd: Prirodno matematički fakultet Univerziteta u Beogradu i Jugoslovenski zavod za produktivnost rada. str. 17. 
• Ivković, Zoran (1986). Teorija verovatnoća sa matematičkom statistikom (III izd.). Beograd: Prirodno matematički fakultet Univerziteta u Beogradu i Jugoslovenski zavod za produktivnost rada. str. 17. 
• Merkle, Milan (2016). Verovatnoća i statistika za inženjere i studente tehnike (4. i dopunjeno izd.). Beograd: Akademska misao. str. 44. ISBN 978-86-7466-594-7.