Fajnman-Kacova formula

Fajnman-Kacova formula, nazvana po Ričardu Fajnmanu i Marku Kacu, uspostavlja vezu između paraboličnih parcijalnih diferencijalnih jednačina i stohastičkih procesa. Kada su Mark Kac i Ričard Fajnman bili na Kornelu, Kac je prisustvovao Fajnmanovom predavanju i primetio da njih dvojica rade na istoj stvari iz različitih pravaca. Dobijena je Fajnman-Kacova formula, koja strogo dokazuje stvarni slučaj Fajnmanovih integralnih putanja. Složeni slučaj, koji se javlja kada je uključen i spin čestice, još nije dokazan.

Ova formula nudi metod rješavanja određenih parcijelnih diferencijalnih jednačina simulacijom slučajnih putanja stohastičkog procesa. Nasuprot tome, važna klasa očekivanja slučajnih procesa može se izračunati pomoću determinističkih metoda.

Teorema

Razmotrimo parcijalne diferencijalne jednačine

${\frac {\partial u}{\partial t}}(x,t)+\mu (x,t){\frac {\partial u}{\partial x}}(x,t)+{\tfrac {1}{2}}\sigma ^{2}(x,t){\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}(x,t)-V(x,t)u(x,t)+f(x,t)=0,$

definisane za sve $x\in \mathbb {R}$ i $t\in [0,T]$, koji zavise od terminalnog stanja

$u(x,T)=\psi (x),$

gdje su μ, σ, ψ, V, f poznate funkcije, T je parametar, a $u:\mathbb {R} \times [0,T]\to \mathbb {R}$ je nepoznato. Tada na Fajnman-Kacova formula govori da se rješenje može zapisati kao uslovno očekivanje

$u(x,t)=E^{Q}\left[\int _{t}^{T}e^{-\int _{t}^{r}V(X_{\tau },\tau )\,d\tau }f(X_{r},r)dr+e^{-\int _{t}^{T}V(X_{\tau },\tau )\,d\tau }\psi (X_{T}){\Bigg |}X_{t}=x\right]$

pod mjerom vjerovatnoće Q, tako da je X Itô proces vođen jednačinom

$dX=\mu (X,t)\,dt+\sigma (X,t)\,dW^{Q},$

gde je W^Q(t) Vinerov proces (takođe poznat kao Braunovo kretanje) pod Q, a početni uslov za X(t) je X(t) = x.

Dokaz

Dokaz da je ova formula rješenje diferencijalne jednačine je dug, težak i nije prikazan ovde. Međutim, razumno je jednostavno pokazati da, ako postoji rješenje, ono mora imati oblik naveden iznad.

Neka je u(x, t) rješenje gorenavedene diferencijalne jednačine. Primjenom pravila proizvoda u Itô procesu na proces

$Y(s)=e^{-\int _{t}^{s}V(X_{\tau },\tau )\,d\tau }u(X_{s},s)+\int _{t}^{s}e^{-\int _{t}^{r}V(X_{\tau },\tau )\,d\tau }f(X_{r},r)\,dr$

dobija se

${\begin{aligned}dY={}&d\left(e^{-\int _{t}^{s}V(X_{\tau },\tau )\,d\tau }\right)u(X_{s},s)+e^{-\int _{t}^{s}V(X_{\tau },\tau )\,d\tau }\,du(X_{s},s)\\[6pt]&{}+d\left(e^{-\int _{t}^{s}V(X_{\tau },\tau )\,d\tau }\right)du(X_{s},s)+d\left(\int _{t}^{s}e^{-\int _{t}^{r}V(X_{\tau },\tau )\,d\tau }f(X_{r},r)\,dr\right)\end{aligned}}$

S obzirom da je

$d\left(e^{-\int _{t}^{s}V(X_{\tau },\tau )\,d\tau }\right)=-V(X_{s},s)e^{-\int _{t}^{s}V(X_{\tau },\tau )\,d\tau }\,ds,$

treći član je $O(dt\,du)$ i može se izostaviti. Takođe imamo da je

$d\left(\int _{t}^{s}e^{-\int _{t}^{r}V(X_{\tau },\tau )\,d\tau }f(X_{r},r)dr\right)=e^{-\int _{t}^{s}V(X_{\tau },\tau )\,d\tau }f(X_{s},s)ds.$

Primjenom Itô's leme na $du(X_{s},s)$, slijedi da

${\begin{aligned}dY={}&e^{-\int _{t}^{s}V(X_{\tau },\tau )\,d\tau }\,\left(-V(X_{s},s)u(X_{s},s)+f(X_{s},s)+\mu (X_{s},s){\frac {\partial u}{\partial X}}+{\frac {\partial u}{\partial s}}+{\tfrac {1}{2}}\sigma ^{2}(X_{s},s){\frac {\partial ^{2}u}{\partial X^{2}}}\right)\,ds\\[6pt]&{}+e^{-\int _{t}^{s}V(X_{\tau },\tau )\,d\tau }\sigma (X,s){\frac {\partial u}{\partial X}}\,dW.\end{aligned}}$

Prvi član sadrži, u zagradama, gornju parcijalnu diferencijalnu jednačinu i stoga je nula. Ono što ostaje je

$dY=e^{-\int _{t}^{s}V(X_{\tau },\tau )\,d\tau }\sigma (X,s){\frac {\partial u}{\partial X}}\,dW.$

Integracijom ovog rješenja od t do T, može se zaključiti da je

$Y(T)-Y(t)=\int _{t}^{T}e^{-\int _{t}^{s}V(X_{\tau },\tau )\,d\tau }\sigma (X,s){\frac {\partial u}{\partial X}}\,dW.$

Nakon uzimanja očekivanja, uslovljenih sa X_t = x, i posmatrajući da je desna strana Itô integral, koji ima očekivanje nula, slijedi da je

$E[Y(T)\mid X_{t}=x]=E[Y(t)\mid X_{t}=x]=u(x,t).$

Željeni rezultat dobija se opažanjem da je

$E[Y(T)\mid X_{t}=x]=E\left[e^{-\int _{t}^{T}V(X_{\tau },\tau )\,d\tau }u(X_{T},T)+\int _{t}^{T}e^{-\int _{t}^{r}V(X_{\tau },\tau )\,d\tau }f(X_{r},r)\,dr\,{\Bigg |}\,X_{t}=x\right]$

i napokon

$u(x,t)=E\left[e^{-\int _{t}^{T}V(X_{\tau },\tau )\,d\tau }\psi (X_{T})+\int _{t}^{T}e^{-\int _{t}^{s}V(X_{\tau },\tau )\,d\tau }f(X_{s},s)\,ds\,{\Bigg |}\,X_{t}=x\right]$

Primjena

U finansijskoj matematici, Fajnman-Kacova formula se koristi da se efikasno izračunaju rješenja Blek-Šolove jednačine za cijene akcija.