Funkcija prenosa

Funkcija prenosa sistema.

Funkcija prenosa, jedan je od načina matematičkog opisa dinamičkog ponašanja sistema. Uglavnom se koristi u teoriji automatskog upravljanja, komunikacija i digitalne obrade signala. Predstavlja diferencijalni operator, koji izražava odnos između ulaza i izlaza linearnog stacionarnog sistema. Znajući ulaz sistema i funkciju prenosa, može se rekonstruisati izlazni signal. Jednostavnije rečeno, prenosna funkcija je matematički prikaz odnosa između ulaza i izlaza dinamičkog sistema.

U vremenskom domenu, takav sistem karakteriše impulsni odziv, transformacijom ulaznog signala U(t) u izlazni signal Y(t). Sa odgovarajućom transformacijom mogu se zameniti ulazni signal u U(s) i izlazni u Y(s), pa je njihov odnos funkcija prenosa. U teoriji upravljanja, funkcija prenosa sistema definiše se kao odnos Laplasove transformacije izlaznog signala i ulaza, sa nultim početnim uslovima.

Karakteristike linearnih stacionarnih sistema: Linearnost podrazumeva da odnos, između ulaza i izlaza sistema, zadovoljava istu zakonitost, u funkciji vremena. Tehnički rečeno, linearni sistem ima sledeća svojstva: ako je signal na ulazu x(t) = A·x1(t) + B·x2(t) onda je signal na izlazu sistema y(t) = A·y1(t) + B·y2(t) Izlaz sistema yi(t) je odgovor na ulazni signal (uticaj) xi(t), za bilo koje konstante A i B. Stacionarno, znači da je izlaz sistema, kao odgovor na bilo koji ulaz istog je vremenskog kašnjenja, za bilo koju aplikaciju. U užem smislu, vremensko kašnjenje izlaza biće uvek isto, u odnosu na ulazni signal, usled uticaja sistema.

Za kontinualne signale, funkcija prenosa pomoću Laplasa daje opšte informacije o sistemu, posebno informacije o njegovoj stabilnosti.

Linearni stacionarni sistemi

Pri razmatranju teorije linearnih stacionarnih sistema, usvojeno je da je odnos izlaznog i ulaznog signala funkciju prenosa:

Veza između vremenskog i frekventnog domena.

$W(s)={\frac {Y(s)}{U(s)}}$,

Gde je:

• $U(s)\!$ — ulazni signal (ulaz)
• $Y(s)\!$ — izlazni signal (izlaz, ili odziv)
  

U ovom obliku, ulaz i izlaz, dobijeni su sa Laplasovom transformacijom signala u vremenskom domenu $u(t)\!$ i $y(t)\!$, saglasno relacijama:

$U(s)={\mathcal {L}}\left\{u(t)\right\}\equiv \int \limits _{-\infty }^{\infty }u(t)e^{-st}\,dt$,

$Y(s)={\mathcal {L}}\left\{y(t)\right\}\equiv \int \limits _{-\infty }^{\infty }y(t)e^{-st}\,dt$.

Diskretna funkcija prenosa

Za digitalni i diskretno neprekidni sistem naziva se diskretna funkcija prenosa. Signal $u(k)\!$ — ulazni diskretni signal odgovarajućeg sistema, a $y(k)\!$ — je diskretni izlazni signal, $k=0,1,2,\dots \!$. Tada se funkcija prenosa sistema $W(z)\!$ može napisati u obliku:

$W(z)={\frac {Y(z)}{U(z)}}$,

Gde je $U(z)\!$ i $Y(z)\!$ — z-konverzija za signale $u(k)\!$ i $y(k)\!$ saglasno:

$U(z)={\mathcal {Z}}\left\{u(k)\right\}\equiv \sum _{k=0}^{\infty }u(k)z^{-k}$,

$Y(z)={\mathcal {Z}}\left\{y(k)\right\}\equiv \sum _{k=0}^{\infty }y(k)z^{-k}$.

Odnos sa drugim dinamičkim karakteristikama

• Amplitudno i fazno frekventni odziv može se dobiti iz funkcije prenosa pomoću formalne zamene sa koplesnom promenljivom $s\!$ sa $j\omega \!$:

$W(j\omega )\equiv W(s),s=j\omega \!$.

• Impulsna funkcija prenosa je original za funkciju prenosa (Laplasove transformacije).

Osobine funkcije prenosa

1. Za stacionarne objekte prenosna funkcija, svrstava se u racionalne funkcije sa kompleksnom promenljivom ($s\!$):

$W(s)={\frac {R(s)}{Q(s)}}={\frac {b_{0}s^{m}+b_{1}s^{m-1}+\dots +b_{m}}{a_{0}s^{n}+a_{1}s^{n-1}+\dots +a_{n}}}$.

1. Imenilac funkcije prenosa je karakterističan polinom sistema. Polovi funkcije prenosa su koreni karakterističnog polinoma.
2. U fizički realnim sistemima, red brojioca prenosne funkcije $m\!$, ne može preći red imenioca $n\!$.
3. Impulsna funkcija prenosa je original za funkciju prenosa (pre Laplasove transformacije).

Matrica funkcije prenosa

Za višestruki ulaz i višestruki izlaz, uvodi se sistem matrice funkcije prenosa. Matrica funkcije prenosa od ulaza vektora sistema $U(t)\!$ i od vektora izlaza $Y(t)\!$, predstavlja matricu $W=\{w_{i,j}\}\!$, gde su njeni elementi $i\!$, u tome redu $j\!$. Druga kolona predstavlja funkciju prenosa sistema od $i\!$, od koordinate vektora izlaza sistema, na vektor ulaza $j\!$.

Funkcija prenosa sistema sa povratnom spregom

Sa povratnom spregom

Kada sistem upravljanja poseduje povratnu spregu (slika desno), tada su uočljive dve funkcije prenosa:

• Funkcija prenosa sistema sa zatvorenom povratnom spregom, koja se naziva
  funkcija spregnutog prenosa
  

$W_{s}(s)={\frac {G}{1+GH}}$,

• funkcija prenosa sistema sa otvorenom povratnom spregom, koja se naziva
  funkcija povratnog prenosa
  

$\ W(s)=\ GH$.

Upravljanje u inžinjerstvu

U inžinjerskoj teoriji upravljanja, funkcija prenosa je izvedena pomoću Laplasove transformacije.

Funkcija prenosa je primarni alat, koji se koristi u klasičnom upravljanju u energetici. Međutim, on se pokazao glomazan za analizu sistema sa više ulaza i sa više izlaza, i u velikoj meri zamenjen je sa prikazom stanja prostora za ovakve sisteme. Uprkos tome, matrica funkcije prenosa može se uvek dobiti za bilo koji linearni sistem, kako bi se analizirala dinamika i druga svojstva. Svaki elemenat matrice je funkcija prenosa, odnosi se na promenljivi ulaz i izlaz.

Optika

U optici, funkcija prenosa označava mogućnost modulacije optičkog prenosa kontrasta.

Primer, kada se posmatra serija crno-belih svetlosnih pruga, nacrtanih sa specifičnom prostornom frekvencijom, kvalitet slike može opadati. Bela pruga bledi dok crne postaju svetlije.

funkcija prenosa modulacije ($\mathrm {MTF}$) u određenim prostornim učestanostima je definisana:

$\mathrm {MTF} (f)={\frac {M({slika})}{M({izvor})}}$

Gde modulacija (M) zavisi od sledeće slike ili intenziteta osvetljenja:

$M={\frac {(L_{\mathrm {max} }-L_{\mathrm {min} })}{(L_{\mathrm {max} }+L_{\mathrm {min} })}}$

Vidi još

• Sistem komandi leta aviona
• Povratna sprega

Spoljašnje veze

• Analiza sistema
• ECE 209: Review of Circuits as LTI Systems — Short primer on the mathematical analysis of (electrical) LTI systems.
• ECE 209: Sources of Phase Shift — Gives an intuitive explanation of the source of phase shift in two simple LTI systems. Also verifies simple transfer functions by using trigonometric identities.