Лапласова трансформација

Из Википедије, слободне енциклопедије

Лапласова трансформација (названа по Пјер-Симон Лапласу) је интегрална трансформација, која дату каузалну функцију f(t) (оригинал) пресликава из временског домена (t = време) у функцију F(s) у комплексном спектралном домену. Лапласова трансформација, иако је добила име у његову част, јер је ову трансформацију користио у свом раду о теорији вероватноће, трансформацију је заправо открио Леонард Ојлер, швајцарски математичар из осамнаестог века.

Појам оригинала[уреди]

Функција t->f(t) назива се оригиналом ако испуњава следеће услове:

1. f је интеграбилна на сваком коначном интервалу t осе
2. за свако t<0, f(t)=0
3. постоје M и s0, тако да је  |f(t)| \le M e^{s_0t}


Дефиниција Лапласове трансформације[уреди]

F(s) 
  = \mathcal{L} \left\{f(t)\right\}
  =\int_{0}^{\infty} e^{-st} f(t)\,dt. \qquad (s = \sigma + \mathrm{i} \omega;
  \quad \sigma > 0;\quad t \ge 0 )

Функција F(s) је »слика« или лапласова трансформација »оригинала« f(t).

За случај да је s = i\omega добија се једнострана Фуријеова трансформација:

F(\omega) = \mathcal{F}\left\{f(t)\right\}
= \mathcal{L}\left\{f(t)\right\}|_{s = i \omega}  =  F(s)|_{s = i \omega}
= \int_{0}^{\infty} e^{-\imath \omega t} f(t)\,\mathrm{d}t.

Особине[уреди]

Линеарност[уреди]

 \mathcal{L} \{  \sum_{k=1}^{n}  \alpha_k f_k(t) \} = \sum_{k=1}^{n} \alpha_k F_k(s)

Теорема сличности[уреди]

Ако је  a>0 , тада је  \mathcal{L} \{ f(at) \} = { 1 \over a } F({ s \over a }) , при чему је  \mathcal{L} \{ f(t) \} = F(s)

Диференцирање оригинала[уреди]

Ако је  a>0 и  \mathcal{L} \{ f(t) \} = F(s) , тада је  \mathcal{L} \{ f^\prime(t) \} = s F(s) - f(0)

Диференцирање слике[уреди]

Ако је  \mathcal{L} \{ f(t) \} = F(s) , тада је  \mathcal{L} \{ t f(t) \} = - F^\prime(s) , односно индукцијом се потврђује да важи  \mathcal{L} \{ t^n f(t) \} = (-1)^n F^{(n)}(s)

Интеграција оригинала[уреди]

Ако је  a>0 и  \mathcal{L} \{ f(t) \} = F(s) , тада је  \mathcal{L} \{ \int_0^t t(\tau)d\tau \} = { 1 \over s } F(s)

Интеграција слике[уреди]

Ако постоји интеграл  \int_0^{\infty} F(s)ds , тада је  \mathcal{L} \{ {f(t) \over t} \} = \int_s^{\infty} F(\sigma)d\sigma

Теорема померања[уреди]

 \mathcal{L} \{ {e^{s_0t} f(t)} \} = F(s-s_0)

Теорема кашњења[уреди]

 \mathcal{L} \{ {f(t - \tau )} \} = -e^{ -s \tau } F(s), \tau \ge 0

Лапласова трансформација конволуције функција[уреди]

\mathcal{L}\{f * g\}
  = \mathcal{L}\{ f \} \mathcal{L}\{ g \}

Ова особина је позната као Борелова теорема. Напомена: дефиниција конволуције је:  (f\ast g) (x) = \int_{-\infty}^{+\infty} f(x-t) \cdot g(t) \cdot dt = \int_{-\infty}^{+\infty} f(t) \cdot g(x-t) \cdot dt

Лапласова трансформација периодичних функција[уреди]

Ако  f(t) има особину  f(t+T)=f(t) , тада важи  \mathcal{L} \{ f(t) \} = \int_0^T { e^{-su} \over {1-e^{-sT}} } f(u) du

Доказ[уреди]

\mathcal\,\int_{0}^{\infty}e^{-st}f(t)dt=\int_{0}^{T}e^{-st}f(t)dt{\mid}_{t=u}+\int_{T}^{2T}e^{-st}f(t)dt{\mid}_{t=u+T}\int_{2T}^{3T}e^{-st}f(t)dt{\mid}_{t=u+2T}+...\,
\mathcal\,\int_{0}^{\infty}e^{-st}f(t)dt=\int_{0}^{T}e^{-st}f(u)du+\int_{T}^{2T}e^{-s(u+T)}f(u+T)du+\int_{2T}^{3T}e^{-s(u+2T)}f(u+2T)du+...\,
\mathcal\,\int_{0}^{\infty}e^{-st}f(t)dt=\int_{0}^{T}e^{-su}f(u)du+e^{-sT}\int_{0}^{T}e^{-su}f(u)du+e^{-2sT}\int_{0}^{T}e^{-su}f(u)dT+...\,
\mathcal\,\int_{0}^{\infty}e^{-st}f(t)dt=(1+e^{-sT}+e^{-2sT}+...)\int_{0}^{T}e^{-sT}f(T)du{\mid}_{u=t} \,

Одакле следи: \mathcal{L}\{ f \}={1 \over 1 - e^{-Ts}} \int_0^T e^{-st} f(t)\,dt

Табела најчешће коришћених Лапласових трансформација[уреди]

Једнострана Лапласова трансформација има смисла само за не-негативне вредности t, стога су све временске функције у табели поможене са Хевисајдовом функцијом.

ID Функција Временски домен
x(t) = \mathcal{L}^{-1} \left\{ X(s) \right\}
Лапласов s-домен
(фреквентни домен)
X(s) = \mathcal{L}\left\{ x(t) \right\}
Област конвергенције
за каузалне системе
1 идеално кашњење  \delta(t-\tau) \  e^{-\tau s} \
1a јединични импулс  \delta(t) \  1   \mathrm{} \  s \,
2 закашњени n-ти степен
са фреквенцијским померањем
\frac{(t-\tau)^n}{n!} e^{-\alpha (t-\tau)} \cdot u(t-\tau)  \frac{e^{-\tau s}}{(s+\alpha)^{n+1}}  \textrm{Re} \{ s \} > 0 \,
2a n-ти степен
(за цео број n)
{  t^n \over n! } \cdot u(t)  { 1 \over s^{n+1} }  \textrm{Re} \{ s \} > 0 \,
2a.1 q-ти степен
(за реално q)
{  t^q \over \Gamma(q+1) } \cdot u(t)  { 1 \over s^{q+1} }  \textrm{Re} \{ s \} > 0 \,
2a.2 Хевисајдова функција  u(t) \  { 1 \over s }  \textrm{Re} \{ s \} > 0 \,
2b закашњена Хевисајдова функција  u(t-\tau) \  { e^{-\tau s} \over s }  \textrm{Re} \{ s \} > 0 \,
2c рампа функција  t \cdot u(t)\ \frac{1}{s^2}  \textrm{Re} \{ s \} > 0 \,
2d фреквенцијско померање n-тог реда \frac{t^{n}}{n!}e^{-\alpha t} \cdot u(t) \frac{1}{(s+\alpha)^{n+1}}  \textrm{Re} \{ s \} > - \alpha \,
2d.1 експоненцијално опадање  e^{-\alpha t} \cdot u(t)  \  { 1 \over s+\alpha }   \textrm{Re} \{ s \} > - \alpha \
3 експоненцијално приближавање (1-e^{-\alpha t})  \cdot u(t)  \ \frac{\alpha}{s(s+\alpha)}   \textrm{Re} \{ s \} > 0\
4 синус  \sin(\omega t) \cdot u(t) \  { \omega \over s^2 + \omega^2  }  \textrm{Re} \{ s \} > 0  \
5 косинус  \cos(\omega t) \cdot u(t) \  { s \over s^2 + \omega^2  }  \textrm{Re} \{ s \} > 0 \
6 синус хиперболикус  \sinh(\alpha t) \cdot u(t) \  { \alpha \over s^2 - \alpha^2 }  \textrm{Re} \{ s \} > | \alpha | \
7 косинус хиперболикус  \cosh(\alpha t) \cdot u(t) \  { s \over s^2 - \alpha^2  }  \textrm{Re} \{ s \} > | \alpha | \
8 експоненцијално опадајући
синус
e^{\alpha t}  \sin(\omega t) \cdot u(t) \  { \omega \over (s-\alpha )^2 + \omega^2  }  \textrm{Re} \{ s \} > \alpha \
9 експоненцијално опадајући
косинус
e^{\alpha t}  \cos(\omega t) \cdot u(t) \  { s-\alpha \over (s-\alpha )^2 + \omega^2  }  \textrm{Re} \{ s \} > \alpha \
10 n-ти корен  \sqrt[n]{t} \cdot u(t)  s^{-(n+1)/n} \cdot \Gamma\left(1+\frac{1}{n}\right)  \textrm{Re} \{ s \} > 0 \,
11 природни логаритам  \ln (t) \cdot u(t)  - { 1 \over s}\, \left[ \ln(s)+\gamma \right]  \textrm{Re} \{ s \} > 0 \,
12 Беселова функција
прве врсте,
реда n
 J_n(\omega t) \cdot u(t) \frac{ \omega^n \left(s+\sqrt{s^2+ \omega^2}\right)^{-n}}{\sqrt{s^2 + \omega^2}}  \textrm{Re} \{ s \} > 0 \,
 (n > -1) \,
13 модификована Беселова функција
прве врсте,
реда n
I_n(\omega t) \cdot u(t)  \frac{ \omega^n \left(s+\sqrt{s^2-\omega^2}\right)^{-n}}{\sqrt{s^2-\omega^2}}  \textrm{Re} \{ s \} > | \omega | \,
14 Беселова функција
друге врсте,
нултог реда
 Y_0(\alpha t) \cdot u(t) -{2 \sinh^{-1}(s/\alpha) \over \pi \sqrt{s^2+\alpha^2}} \textrm{Re} \{ s \} > 0 \,
15 модификована Беселова функција
друге врсте,
нултог реда
 K_0(\alpha t) \cdot u(t)    
16 функција грешке  \mathrm{erf}(t) \cdot u(t)     {e^{s^2/4} \left(1 - \operatorname{erf} \left(s/2\right)\right) \over s}  \textrm{Re} \{ s \} > 0 \,
Објашњења:

Инверзна Лапласова трансформација[уреди]

У општем случају, оригинал f(t) дате слике F(s) добија се решавањем Бромвичовог интеграла:

\mathcal{L}^{-1} \left\{F(s)\right\}
  = \frac{1}{2 \pi \imath} \int_{ \gamma - \imath \infty}^{ \gamma + \imath \infty} e^{st} F(s)\,ds
  \qquad \gamma> s_0,

где је s_0 реални део било ког сингуларитета функције F(s).

С обзиром да се овде интеграли комплексна променљива, потребно је користити методе комплексне математичке анализе. Многи примери инверзне Лапласове трансформације наведени су у табели изнад. У пракси, функције се трансформишу у примере из таблице, на пример разлагањем на просте факторе.

Дискретна Лапласова трансформација[уреди]

За функцију целобројне променљиве f(n) њена дискретна Лапласова трансформација се дефинише као:

F^{\ast}(s) 
  =\sum_{n=0}^{\infty} e^{-sn} f(n)

Конвергенција овог реда зависи од s.

Све особине и теореме регуларне Лапласове трансформације имају своје еквиваленте у дискретној Лапласовој трансформацији.

Примена[уреди]

У математици Лапласова трансформација се користи за анализирање линеарних, временски непроменљивих система, као: електричних кола, хармонијских осцилатора, оптичких уређаја и механичких система. Има примене у решавању диференцијалних једначина и теорији вероватноће.

Спољашње везе[уреди]