Извод сложене функције

Извод сложене функције $f'(g(x))$ користи се за функције компоноване од више елементарних функција (нпр. $\sin {x^{2}}$ или $e^{\sin {x}}$). Извод сложене функције не може се добити преко таблице извода елементарних функција, већ се он рачуна према формуле изведене из теореме:

Теорема

За сложену функцију $y=f(g(x))$ каже се да постоји извод у тачки $x$, ако функција $g(x)$ има извод у тачки $x$ и ако функција $f(g(x))$ има извод у тачки $u=g(x)$, а рачуна се према формули:

$y'=f'(u)\cdot g'(x)$

односно, користећи Лајбницове ознаке, формула се може написати на следећи начин:

${dy \over dx}={dy \over du}\cdot {du \over dx}$

Пример: Извод функције $y=\sin {x^{3}}$

Ако ставимо да је $y=f(g(x))$, где је:

$f(u)=\sin {u}$,

док је:

$u=g(x)=x^{3}$,

онда је применом формуле за извод:

$y'=f'(u)\cdot g'(x)$,

односно, заменом функције $u$ у формули:

$y'=(\sin {u})'\cdot (x^{3})'$

Применом таблице извода за елементарне функције за случај $\sin {u}$ добија се:

$y'=\cos {u}\cdot 3x^{2}$,

односно:

$y'=3x^{2}\cdot \cos {x^{3}}$.

Правило степена

Извод функције: $y=(g(x))^{n}$

Задата функција је композиција две елементарне функције $y=f(u)$, где је $u$ елементарна функција: $u=g(x)^{n}$, па се њен извод према формули може добити на следећи начин:

$y'=f'(u)\cdot u'$ .... $(1)$

извод елементарне функције $u$ према таблици извода износи:

$u'(x)=n\cdot g(x)^{n-1}$ ... $(2)$

па се заменом (2) у (1) добија:

$f'(x)=n\cdot (g(x))^{n-1}\cdot g'(x)$

Правило експонента

Извод функције : $y=(e^{g(x)})$

Задата функција је композиција две елементарне функције $y=f(u)$, где је $f$ елементарна функција: $f(u)=e^{u}$, па се њен извод према формули може добити на следећи начин:

$y'=f'(u)\cdot u'$,

$y'=(e^{u})'\cdot u'$,

с обзиром да је према таблици извода:

$(e^{u})'=e^{u}$,

извод задате сложене функције износи:

$y'=e^{u}\cdot u'$

или

$y'=g'(x)\cdot e^{g(x)}$

Извод сложене функције са два аргумента

Постоје и сложенији случајеви. Тако, ако је

$z=f(x,y)$ а $x=g(t)$ и $y=h(t)$,

тада је

${dz \over dt}={dz \over dx}\cdot {dx \over dt}+{dz \over dy}\cdot {dy \over dt}$

Општи случај

У општем случају, нека су дата два сета функција y и u, тако да је

$y_{1}=f_{1}(u_{1}\ldots u_{p})$

$\vdots$

$y_{m}=f_{m}(u_{1}\ldots u_{p})$

и

$u_{1}=g_{1}(x_{1}\ldots x_{n})$

$\vdots$

$u_{p}=g_{p}(x_{1}\ldots x_{n})$

тада се парцијални извод $\partial y_{i} \over \partial x_{j}$ рачуна као

${\partial y_{i} \over \partial x_{j}}=\sum _{k=1}^{p}{\partial y_{i} \over \partial u_{k}}\cdot {\partial u_{k} \over \partial x_{j}}$,

док диференцијал $dy_{i};\ i=1\ldots m$ износи

$dy_{i}=\sum _{j=1}^{n}(\sum _{k=1}^{p}{\partial y_{i} \over \partial u_{k}}\cdot {\partial u_{x} \over \partial x_{i}})dx_{j}$.

Види још

• Извод инверзне функције