Извод сложене функције

Из Википедије, слободне енциклопедије

Извод сложене функције користи се за функције компоноване од више елементарних функција (нпр. или ). Извод сложене функције не може се добити преко таблице извода елементарних функција, већ се он рачуна према формуле изведене из теореме:

Теорема[уреди]

За сложену функцију каже се да постоји извод у тачки , ако функција има извод у тачки и ако функција има извод у тачки , а рачуна се према формули[1][2]:

односно, користећи Лајбницове ознаке, формула се може написати на следећи начин:

Пример: Извод функције

Ако ставимо да је , где је:

,

док је:

,

онда је применом формуле за извод:

,

односно, заменом функције у формули:

Применом таблице извода за елементарне функције за случај добија се:

,

односно:

.

Правило степена[уреди]

Извод функције: [3]

Задата функција је композиција две елементарне функције , где је елементарна функција: , па се њен извод према формули може добити на следећи начин:

....

извод елементарне функције према таблици извода износи:

...

па се заменом (2) у (1) добија:

Правило експонента[уреди]

Извод функције : [3]

Задата функција је композиција две елементарне функције , где је елементарна функција: , па се њен извод према формули може добити на следећи начин:

,
,

с обзиром да је према таблици извода:

,

извод задате сложене функције износи:

или

Извод сложене функције са два аргумента[уреди]

Постоје и сложенији случајеви. Тако, ако је

а и ,

тада је

Општи случај[уреди]

У општем случају, нека су дата два сета функција y и u, тако да је

и

тада се парцијални извод рачуна као

,

док диференцијал износи

.

Извори[уреди]

  1. Weisstein, Eric W. (6. 12. 2002). „Chain Rule”. CRC Concise Encyclopedia of Mathematics (на језику: ((en))) (2 изд.). Chapman and Hall/CRC. стр. 382. ISBN 9781420035223. Приступљено 19. 11. 2013. 
  2. Д. Михаиловић; Р. Р. Јањић (1987). „4.1.6. Извод сложене функције”. Ур.: Никола Дончев. Елементи математичке анализе (9 изд.). Београд: Научна књига. стр. 105—107. 
  3. 3,0 3,1 Мирослав Павловић (2004). „Правило степена”. Математика за студенте - предавања (пдф). Београд: Faculty of Economics, Finance and Administration. стр. 85. Приступљено 20. 11. 2013. 

Види још[уреди]