Извод сложене функције

С Википедије, слободне енциклопедије
Пређи на навигацију Пређи на претрагу

Извод сложене функције користи се за функције компоноване од више елементарних функција (нпр. или ). Извод сложене функције не може се добити преко таблице извода елементарних функција, већ се он рачуна према формуле изведене из теореме:

Теорема[уреди | уреди извор]

За сложену функцију каже се да постоји извод у тачки , ако функција има извод у тачки и ако функција има извод у тачки , а рачуна се према формули[1][2]:

односно, користећи Лајбницове ознаке, формула се може написати на следећи начин:

Пример: Извод функције

Ако ставимо да је , где је:

,

док је:

,

онда је применом формуле за извод:

,

односно, заменом функције у формули:

Применом таблице извода за елементарне функције за случај добија се:

,

односно:

.

Правило степена[уреди | уреди извор]

Извод функције: [3]

Задата функција је композиција две елементарне функције , где је елементарна функција: , па се њен извод према формули може добити на следећи начин:

....

извод елементарне функције према таблици извода износи:

...

па се заменом (2) у (1) добија:

Правило експонента[уреди | уреди извор]

Извод функције : [3]

Задата функција је композиција две елементарне функције , где је елементарна функција: , па се њен извод према формули може добити на следећи начин:

,
,

с обзиром да је према таблици извода:

,

извод задате сложене функције износи:

или

Извод сложене функције са два аргумента[уреди | уреди извор]

Постоје и сложенији случајеви. Тако, ако је

а и ,

тада је

Општи случај[уреди | уреди извор]

У општем случају, нека су дата два сета функција y и u, тако да је

и

тада се парцијални извод рачуна као

,

док диференцијал износи

.

Извори[уреди | уреди извор]

  1. ^ Weisstein, Eric W. (6. 12. 2002). „Chain Rule”. CRC Concise Encyclopedia of Mathematics (на језику: (језик: енглески)) (2 изд.). Chapman and Hall/CRC. ISBN 9781420035223. Приступљено 19. 11. 2013. 
  2. ^ Д. Михаиловић; Р. Р. Јањић (1987). „4.1.6. Извод сложене функције”. Ур.: Дончев, Никола. Елементи математичке анализе (9 изд.). Београд: Научна књига. стр. 105—107. 
  3. 3,0 3,1 Павловић, Мирослав (2004). „Правило степена”. Математика за студенте - предавања (PDF). Београд: Faculty of Economics, Finance and Administration. стр. 85. Архивирано из оригинала (пдф) на датум 24. 12. 2012. Приступљено 20. 11. 2013. 

Види још[уреди | уреди извор]