Копланарност

Из Википедије, слободне енциклопедије

Копланарност је појам из области геометрије, и означава особину низа тачака да се налазе у истој равни. Три тачке су увек копланарне а, ако нису колинеарне, такође једнозначно дефинишу и раван у којој се налазе. Додавањем четврте тачке скупу од три неколинеарне тачке се већ долази у ситуацију када она мора да задовољава одређене услове, како би све четри тачке биле копланарне.

Начини утврђивања копланарности[уреди]

Ово поглавље разматра начине утврђивања копланарности четри различите и неколинеарне тачке, A, B, C и D. Уколико су најмање две од четри тачке колинеарне, такође су и копланарне. Уколико има више од четри тачке, увек се могу изабрати три сталне, и онда од осталих узимати једна по једна и тестирати на копланарност са њима.

Притом ће стање копланарности означавати исказ да тачке A, B, C и D припадају равни α, коју формирају тачке A, B и C:

Линеарна зависност[уреди]

Ако су четри тачке копланарне, вектори, који се њима могу формирати, морају бити линеарно зависни. Другим речима, ово би значило да верктор може да се изрази као линеарна комбинација вектора и :

Ово исто важи и за друге комбинације тј. се може изразити као линеарна комбинација и , а се може изразити као линеарна комбинација и .

Преко запремине дефинисаног паралелопипеда[уреди]

Четри тачке одређују три вектора, што је довољно да би се њима дефинисао један паралелопипед. Ако би све ове тачке лежале у једној равни, то би значило да је његова висина једнака нули. Даља импликација овое особине би била да је и запремина тог паралелопипеда једнака нули. Из овог произилази да су тачке копланарне уколико је запремина овако одређеног паралелопипеда једнака нули.

У тродимензионом простору можемо користити мешовити производ, који је еквивалент површине:

Ова зависност се такође може изразити кроз услов вредности детерминанте:

[1]

Ово се исто може изразити кроз услов за детерминанту вектора које образују ове тачке:

При чему су употребљени вектори:

Референце[уреди]