Тејлорова формула

Из Википедије, слободне енциклопедије
Апроксимација функције f(x) = 1/(1 + x2) њеним Тејлоровим полиномом Pk реда k = 1, ..., 16 centered at x = 0 (црвена боја) и x = 1 (зелена боја). Апроксимације нису задовољавајуће ван интервала (-1,1) и (1-√2,1+√2), респективно.

Тејлорова формула, која је добила име по математичару Бруку Тејлору, користи се за приближно израчунавање функција у околини неке одређене тачке уз помоћ Тејлорових полинома.

Тејлоров полином[уреди]

Vista-xmag.png За више информација погледајте чланак Тејлоров полином

Тејлоров полином за неку функцију f(x) и дату тачку a је дефинисан на следећи начин:


T_n (x) = f(a) + \frac{f'(a)}{1!} (x-a) + \frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2 +  \ldots + \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n 
= \sum_{k=0}^{n} \left (\frac{f^{k}(a)}{k!}(x-a)^k \right )

Пошто се при таквој апроксимацији функције полиномом прави некаква грешка, део за који се разликује функција и полином називамо остатком R_n^a (x) полинома и он износи:

R_n^a (x) = \frac{1}{n!} \int_a^x (x-t)^n f^{(n+1)}(t) dt

Тако се свака функција може представити као збир одговарајућег Тејлоровог полинома за тачку a коју смо ми сами изабрали и грешке коју смо направили том апроксимацијом:

f(x) = T_n(x) + R_n(x)

Доказ[уреди]

Доказ да се свака функција може представити као збир Тејлоровог полинома и његовог остатка можемо спровести индукцијом.

База индукције:

n=0
f(x) = f(a) + \int_a^x 1 \cdot f'(t) dt.

Да Тејлорова формула важи за n=1 можемо доказати путем парцијалне интеграције:

f(x) = f(a) +f'(a)\,(x-a)+\int_a^x (x-t)^1 \, f''(t) \, dt

Корак индукције: Узмимо онда да за неко n - 1 важи:


f(x) = f(a) + \frac{f'(a)}{1!}(x - a) + \cdots + \frac{f^{(n)}(a)}{(n-1)!}(x - a)^{n-1} + 
\int_a^x \frac{f^{(n)} (t)}{(n-1)!} (x - t)^{n-1} \, dt

Доказ:

 n-1 \rightarrow n

R_{n-1}^a(x)
= \int_a^x \frac{f^{(n)} (t)}{(n-1)!} (x - t)^{n-1} \, dt
= \frac{1}{(n-1)!} \int_{a}^{x} (x-t)^{n-1} f^{(n)}(t)dt

Користимо \frac{d}{dt} \left (\frac{(x-t)^n}{n} \right) = -(x-t)^{n-1}:


R_{n-1}^a(x)=-\frac{1}{(n-1)!} \int_{a}^{x} \frac{d}{dt}(\frac{(x-t)^{n}}{n}) \frac{d^{n}}{dt^{n}}f(t)dt

R_{n-1}^a(x)= - \int_{a}^{x} \underbrace { \frac{d}{dt}(\frac{(x-t)^{n}}{n!}) }_{u'} \underbrace{\frac{d^{n}}{dt^{n}} f(t)}_{v} dt

Парцијалном интеграцијом:


R_{n-1}^a(x)= -\left[ \underbrace{ \frac{(x-t)^n}{n!} }_u \underbrace { \frac{d^n}{dt^n}f(t) }_v \right]^{x}_{a} + \int_{a}^{x} \underbrace{\frac{(x-t)^n}{n!}}_u \underbrace{\frac{d^{n+1}}{dt^{n+1}}f(t)}_{v'}dt

R_{n-1}^a(x)=\frac{f^{(n)}(a)}{n!} {(x-a)}^n + \frac{1}{n!} \int_{a}^{x} (x-t)^n \frac{d^{n+1}}{dt^{n+1}}f(t)dt

R_{n-1}^a(x)=\frac{f^{(n)}(a)}{n!} {(x-a)}^n + \int_{a}^{x} \frac{ f^{(n+1)}(t) }{n!} (x-t)^n dt

\Rightarrow
f(x) = T_{n-1}(x) + R_{n-1}(x) = T_n(x) + R_n(x)
,

што смо и хтели да докажемо.

Тејлорова формула у Лагранжовом облику[уреди]

Тејлорова формула у Лагранжовом облику се добија када се на израз Тејлорове формуле


\Rightarrow
f(x) = T_{n-1}(x) + R_{n-1}(x) = T_n(x) + R_n(x)

примени Лагранжова теорема за средњу вредност:


R_n^a (x) 
 = \frac{1}{n!} \int_a^x (x-t)^n f^{(n+1)}(t) dt
 = f^{(n+1)}(\xi) \int_a^x \frac{(x-t)^n}{n!} dt
 = f^{(n+1)}(\xi) \frac {(x-a)^{n+1}}{(n+1)!} 
, где је  a < \xi < x

Пример[уреди]

Црвеном бојом је представљена функција синус, а плавом бојом Тејлоров полином првог степена за синус, што и није нарочито лоша апроксимација ако, као у примеру, посматрамо само сегмент од -0.5 до 0.5.

Израчунавање ниједне тригонометријске функције у општем случају није тривијално. Међутим, за резултате са одређеном тачношћу, Тејлорова формула даје веома добре резултате који се могу и јако брзо израчунати.

Тако, на пример, можемо израчунати приближну вредност синуса у опсегу -0.5 до 0.5. Једна од најефикаснијих могућности за израчунавање је примена Тејлоровог полинома на тачку 0.

За синус знамо да важи:

f(x) = \sin(x), f'(x) = \cos(x), f''(x) = -\sin(x)

Тејлоров полином првог степена стога гласи:

n=1, a = 0
\sin(x) \approx T_1(x) = f(a) + \frac{f'(a)}{1!} \cdot (x - a) = \sin(0) + \cos(0) \cdot x =  x

У посматраном интервалу, резултати апроксимације су прилично добри, јер је грешка:

R_1(x) = \int_0^x (x-t) f''(t) dt = \sin(x) - x највећа код тачака -0.5 и 0.5 и она износи:
R_1(0.5) = -0.020574, што је са практичне тачке гледишта сасвим прихватљиво.
Граф за R_3(x).

Тако можемо и практично да опазимо да је наша приближна вредност све гора апроксимација што се даље удаљавамо од тачке a.

За боље апроксимације и мање грешке, потребно је само функцију развити до виших степена и тако се све више и више приближавати траженој функцији.

Приказане су апроксимације функције \sin(x) за развијање до све виших и виших редова (до првог реда - црвеном бојом, до трећег реда - зеленом бојом, ...):

Taylorpolynom sin.png

Види још[уреди]

Литература[уреди]

  • Душан Аднађевић, Зоран Каделбург: Математичка анализа 1, Студентски трг, Београд, 1995.