Тејлорова формула

Из Википедије, слободне енциклопедије
Апроксимација функције f(x) = 1/(1 + x2) њеним Тејлоровим полиномом Pk реда k = 1, ..., 16 centered at x = 0 (црвена боја) и x = 1 (зелена боја). Апроксимације нису задовољавајуће ван интервала (-1,1) и (1-√2,1+√2), респективно.

Тејлорова формула, која је добила име по математичару Бруку Тејлору, користи се за приближно израчунавање функција у околини неке одређене тачке уз помоћ Тејлорових полинома.

Тејлоров полином[уреди]

Главни чланак: Тејлоров полином

Тејлоров полином за неку функцију и дату тачку је дефинисан на следећи начин:

Пошто се при таквој апроксимацији функције полиномом прави некаква грешка, део за који се разликује функција и полином називамо остатком полинома и он износи:

Тако се свака функција може представити као збир одговарајућег Тејлоровог полинома за тачку коју смо ми сами изабрали и грешке коју смо направили том апроксимацијом:

Доказ[уреди]

Доказ да се свака функција може представити као збир Тејлоровог полинома и његовог остатка можемо спровести индукцијом.

База индукције:

Да Тејлорова формула важи за можемо доказати путем парцијалне интеграције:

Корак индукције: Узмимо онда да за неко важи:

Доказ:

Користимо :

Парцијалном интеграцијом:

,

што смо и хтели да докажемо.

Тејлорова формула у Лагранжовом облику[уреди]

Тејлорова формула у Лагранжовом облику се добија када се на израз Тејлорове формуле

примени Лагранжова теорема за средњу вредност:

, где је

Пример[уреди]

Црвеном бојом је представљена функција синус, а плавом бојом Тејлоров полином првог степена за синус, што и није нарочито лоша апроксимација ако, као у примеру, посматрамо само сегмент од -0.5 до 0.5.

Израчунавање ниједне тригонометријске функције у општем случају није тривијално. Међутим, за резултате са одређеном тачношћу, Тејлорова формула даје веома добре резултате који се могу и јако брзо израчунати.

Тако, на пример, можемо израчунати приближну вредност синуса у опсегу -0.5 до 0.5. Једна од најефикаснијих могућности за израчунавање је примена Тејлоровог полинома на тачку 0.

За синус знамо да важи:

Тејлоров полином првог степена стога гласи:

У посматраном интервалу, резултати апроксимације су прилично добри, јер је грешка:

највећа код тачака -0.5 и 0.5 и она износи:
, што је са практичне тачке гледишта сасвим прихватљиво.
Граф за .

Тако можемо и практично да опазимо да је наша приближна вредност све гора апроксимација што се даље удаљавамо од тачке .

За боље апроксимације и мање грешке, потребно је само функцију развити до виших степена и тако се све више и више приближавати траженој функцији.

Приказане су апроксимације функције за развијање до све виших и виших редова (до првог реда - црвеном бојом, до трећег реда - зеленом бојом, ...):

Taylorpolynom sin.png

Види још[уреди]

Литература[уреди]

  • Душан Аднађевић, Зоран Каделбург: Математичка анализа 1, Студентски трг, Београд, 1995.