Лапласова једначина

Лапласова једначина' је елиптичка парцијална диференцијална једначина другога реда облика:

$\qquad \nabla ^{2}\varphi =0$

Решења Лапласове једначине су хармоничке функције. Лапласова једначина је значајна у математици, електромагнетизму, астрономији и динамици флуида.

Дефиниција

У три демензије Лапласива једначина може да се прикаже у различитим координатним системима. У картезијевом координатном систему је облика:

$\Delta f={\partial ^{2}f \over \partial x^{2}}+{\partial ^{2}f \over \partial y^{2}}+{\partial ^{2}f \over \partial z^{2}}=0.$

У цилиндричном координатном систему је:

$\Delta f={1 \over r}{\partial \over \partial r}\left(r{\partial f \over \partial r}\right)+{1 \over r^{2}}{\partial ^{2}f \over \partial \phi ^{2}}+{\partial ^{2}f \over \partial z^{2}}=0$

У сферном координатном систему је:

$\Delta f={1 \over \rho ^{2}}{\partial \over \partial \rho }\!\left(\rho ^{2}{\partial f \over \partial \rho }\right)\!+\!{1 \over \rho ^{2}\!\sin \theta }{\partial \over \partial \theta }\!\left(\sin \theta {\partial f \over \partial \theta }\right)\!+\!{1 \over \rho ^{2}\!\sin ^{2}\theta }{\partial ^{2}f \over \partial \varphi ^{2}}=0.$

У закривљеном координатном систему је:

$\Delta f={\partial \over \partial \xi ^{i}}\!\left({\partial f \over \partial \xi ^{k}}g^{ki}\right)\!+\!{\partial f \over \partial \xi ^{j}}g^{jm}\Gamma _{mn}^{n}=0,$

илиr

$\Delta f={1 \over {\sqrt {|g|}}}{\partial \over \partial \xi ^{i}}\!\left({\sqrt {|g|}}g^{ij}{\partial f \over \partial \xi ^{j}}\right)=0,\quad (g=\mathrm {det} \{g_{ij}\}).$

Дводимензионални систем

У поларном координатном дводимензионалном систему је облика:

${\frac {1}{r}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(r{\frac {\partial u}{\partial r}}\right)+{\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial \phi ^{2}}}=0$

У дводимензионалном картезијевом систему је:

${\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}}=0$

Гринова функција

Лапласова једначина се често решава уз помоћ Гринове функције и Гринова теорема:

$\int _{V}(\phi \nabla ^{2}\psi -\psi \nabla ^{2}\phi )dV=\int _{S}(\phi \nabla \psi -\psi \nabla \phi )\cdot d{\hat {\sigma }}.$

Дефиниција Гринове функције је:

$\nabla ^{2}G(x,x')=\delta (x-x').$

Уврстимо у Гринов теорем $\psi =G$ па добијамо:

${\begin{aligned}&{}\quad \int _{V}\left[\phi (x')\delta (x-x')-G(x,x')\nabla ^{2}\phi (x')\right]\ d^{3}x'\\[6pt]&=\int _{S}\left[\phi (x')\nabla 'G(x,x')-G(x,x')\nabla '\phi (x')\right]\cdot d{\hat {\sigma }}'.\end{aligned}}$

Сада можемо да решимо Лапласову једначину $\nabla ^{2}\phi (x)=0$ у случају Нојманових или Дирихлеових рубних услова. Узимајући у обзир:

$\int \limits _{V}{\phi (x')\delta (x-x')\ d^{3}x'}=\phi (x)$

па се једначина своди на:

$\phi (x)=\int _{V}G(x,x')\rho (x')\ d^{3}x'+\int _{S}\left[\phi (x')\nabla 'G(x,x')-G(x,x')\nabla '\phi (x')\right]\cdot d{\hat {\sigma }}'.$

Када нема рубних услова Гринова функција је:

$G(x,x')={\dfrac {1}{|x-x'|}}.$

Литература

• Sommerfeld A, Partial Differential Equations in Physics, New York: Academic Press (1949)
• Korn GA and Korn TM. (1961) Mathematical Handbook for Scientists and Engineers, McGraw-Hill.
• Morse PM, Feshbach H (1953). Methods of Theoretical Physics, Part I. New York: McGraw-Hill. ISBN 0-07-043316-X
• Лапласова једначина