Лапласова једначина' је елиптичка парцијална диференцијална једначина другога реда облика:

Решења Лапласове једначине су хармоничке функције. Лапласова једначина је значајна у математици, електромагнетизму, астрономији и динамици флуида.
У три демензије Лапласива једначина може да се прикаже у различитим координатним системима.
У картезијевом координатном систему је облика:

У цилиндричном координатном систему је:

У сферном координатном систему је:

У закривљеном координатном систему је:

илиr

У поларном координатном дводимензионалном систему је облика:

У дводимензионалном картезијевом систему је:

Лапласова једначина се често решава уз помоћ Гринове функције и Гринова теорема:

Дефиниција Гринове функције је:

Уврстимо у Гринов теорем
па добијамо:
![{\displaystyle {\begin{aligned}&{}\quad \int _{V}\left[\phi (x')\delta (x-x')-G(x,x')\nabla ^{2}\phi (x')\right]\ d^{3}x'\\[6pt]&=\int _{S}\left[\phi (x')\nabla 'G(x,x')-G(x,x')\nabla '\phi (x')\right]\cdot d{\hat {\sigma }}'.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/45398496f3a2707a0f092d2ee2a34e68190f6dba)
Сада можемо да решимо Лапласову једначину
у случају Нојманових или Дирихлеових рубних услова. Узимајући у обзир:

па се једначина своди на:
![{\displaystyle \phi (x)=\int _{V}G(x,x')\rho (x')\ d^{3}x'+\int _{S}\left[\phi (x')\nabla 'G(x,x')-G(x,x')\nabla '\phi (x')\right]\cdot d{\hat {\sigma }}'.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d25b5d1f1a93b6863d8747546a6eb12020a255d4)
Када нема рубних услова Гринова функција је:

- Sommerfeld A, Partial Differential Equations in Physics, New York: Academic Press (1949)
- Korn GA and Korn TM. (1961) Mathematical Handbook for Scientists and Engineers, McGraw-Hill.
- Morse PM, Feshbach H . Methods of Theoretical Physics, Part I. New York:. McGraw-Hill.1953. ISBN 978-0-07-043316-8.
- Лапласова једначина