Лапласова једначина

Из Википедије, слободне енциклопедије

Лапласова једначина' је елиптичка парцијална диференцијална једначина другога реда облика:

Решења Лапласове једначине су хармоничке функције. Лапласова једначина је значајна у математици, електромагнетизму, астрономији и динамици флуида.

Дефиниција[уреди]

У три демензије Лапласива једначина може да се прикаже у различитим координатним системима. У картезијевом координатном систему је облика:

У цилиндричном координатном систему је:

У сферном координатном систему је:

У закривљеном координатном систему је:

илиr

Дводимензионални систем[уреди]

У поларном координатном дводимензионалном систему је облика:

У дводимензионалном картезијевом систему је:


Гринова функција[уреди]

Лапласова једначина се често решава уз помоћ Гринове функције и Гринова теорема:

Дефиниција Гринове функције је:

Уврстимо у Гринов теорем па добијамо:

Сада можемо да решимо Лапласову једначину у случају Нојманових или Дирихлеових рубних услова. Узимајући у обзир:

па се једначина своди на:

Када нема рубних услова Гринова функција је:

Литература[уреди]

  • Sommerfeld A, Partial Differential Equations in Physics, New York: Academic Press (1949)
  • Korn GA and Korn TM. (1961) Mathematical Handbook for Scientists and Engineers, McGraw-Hill.
  • Morse PM, Feshbach H (1953). Methods of Theoretical Physics, Part I. New York: McGraw-Hill. ISBN 0-07-043316-X
  • Лапласова једначина