Лежандрови полиноми
P
n
(
x
)
{\displaystyle P_{n}(x)}
диференцијалне једначине :
d
d
x
[
(
1
−
x
2
)
d
d
x
P
n
(
x
)
]
+
n
(
n
+
1
)
P
n
(
x
)
=
0.
{\displaystyle {d \over dx}\left[(1-x^{2}){d \over dx}P_{n}(x)\right]+n(n+1)P_{n}(x)=0.}
Назив су добили по француском математичару Адријену-Мари Лежандру . Лежандрова диференцијална једначина често се сусреће у техници и физици , а посебно приликом решавања Лапласове једначине у сферном координатном систему.
Генерирајућа формула за Лежандрове полиноме је:
1
1
−
2
x
t
+
t
2
=
∑
n
=
0
∞
P
n
(
x
)
t
n
(
1
)
{\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {1-2xt+t^{2}}}}=\sum _{n=0}^{\infty }P_{n}(x)t^{n}\qquad (1)}
Лежандрови полиноми могу да се дефинишу и Родригезовом формулом:
P
n
(
x
)
=
1
2
n
n
!
d
n
d
x
n
[
(
x
2
−
1
)
n
]
.
{\displaystyle P_{n}(x)={1 \over 2^{n}n!}{d^{n} \over dx^{n}}\left[(x^{2}-1)^{n}\right].}
Експлицитни развој полинома је:
P
n
(
x
)
=
1
2
n
∑
k
=
0
n
(
n
k
)
2
(
x
−
1
)
n
−
k
(
x
+
1
)
k
=
2
n
⋅
∑
k
=
0
n
x
k
(
n
k
)
(
n
+
k
−
1
2
n
)
,
{\displaystyle P_{n}(x)={\frac {1}{2^{n}}}\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}^{2}(x-1)^{n-k}(x+1)^{k}=2^{n}\cdot \sum _{k=0}^{n}x^{k}{n \choose k}{{\frac {n+k-1}{2}} \choose n},}
Првих неколико полинома је:
Првих 6 Лежандрових полинома
P
0
(
x
)
=
1
;
{\displaystyle P_{0}(x)=1;\,}
P
1
(
x
)
=
x
;
{\displaystyle P_{1}(x)=x;\,}
P
2
(
x
)
=
1
2
(
3
x
2
−
1
)
;
{\displaystyle P_{2}(x)={\frac {1}{2}}(3x^{2}-1);}
P
3
(
x
)
=
1
2
(
5
x
3
−
3
x
)
;
{\displaystyle P_{3}(x)={\frac {1}{2}}(5x^{3}-3x);}
P
4
(
x
)
=
1
8
(
35
x
4
−
30
x
2
+
3
)
;
{\displaystyle P_{4}(x)={\frac {1}{8}}(35x^{4}-30x^{2}+3);}
P
5
(
x
)
=
1
8
(
63
x
5
−
70
x
3
+
15
x
)
;
{\displaystyle P_{5}(x)={\frac {1}{8}}(63x^{5}-70x^{3}+15x);}
P
6
(
x
)
=
1
16
(
231
x
6
−
315
x
4
+
105
x
2
−
5
)
;
{\displaystyle P_{6}(x)={\frac {1}{16}}(231x^{6}-315x^{4}+105x^{2}-5);}
P
7
(
x
)
=
1
16
(
429
x
7
−
693
x
5
+
315
x
3
−
35
x
)
;
{\displaystyle P_{7}(x)={\frac {1}{16}}(429x^{7}-693x^{5}+315x^{3}-35x);}
P
8
(
x
)
=
1
128
(
6435
x
8
−
12012
x
6
+
6930
x
4
−
1260
x
2
+
35
)
;
{\displaystyle P_{8}(x)={\frac {1}{128}}(6435x^{8}-12012x^{6}+6930x^{4}-1260x^{2}+35);}
P
9
(
x
)
=
1
128
(
12155
x
9
−
25740
x
7
+
18018
x
5
−
4620
x
3
+
315
x
)
;
{\displaystyle P_{9}(x)={\frac {1}{128}}(12155x^{9}-25740x^{7}+18018x^{5}-4620x^{3}+315x);}
P
10
(
x
)
=
1
256
(
46189
x
10
−
109395
x
8
+
90090
x
6
−
30030
x
4
+
3465
x
2
−
63
)
.
{\displaystyle P_{10}(x)={\frac {1}{256}}(46189x^{10}-109395x^{8}+90090x^{6}-30030x^{4}+3465x^{2}-63).}
Развојем формуле (1) за n=0 и n=1 добија се за прва два полинома:
P
0
(
x
)
=
1
,
P
1
(
x
)
=
x
{\displaystyle P_{0}(x)=1,\quad P_{1}(x)=x}
Изводом формуле (1) добија се:
x
−
t
1
−
2
x
t
+
t
2
=
(
1
−
2
x
t
+
t
2
)
∑
n
=
1
∞
n
P
n
(
x
)
t
n
−
1
.
{\displaystyle {\frac {x-t}{\sqrt {1-2xt+t^{2}}}}=(1-2xt+t^{2})\sum _{n=1}^{\infty }nP_{n}(x)t^{n-1}.}
а одатле се добија рекурзивна релација:
(
n
+
1
)
P
n
+
1
(
x
)
=
(
2
n
+
1
)
x
P
n
(
x
)
−
n
P
n
−
1
(
x
)
.
{\displaystyle (n+1)P_{n+1}(x)=(2n+1)xP_{n}(x)-nP_{n-1}(x).\,}
Лежандрови полиноми су ортогонални:
∫
−
1
1
P
m
(
x
)
P
n
(
x
)
d
x
=
2
2
n
+
1
δ
m
n
{\displaystyle \int _{-1}^{1}P_{m}(x)P_{n}(x)\,dx={2 \over {2n+1}}\delta _{mn}}
где је δmn Кронекерова делта функција .
Лежандрови полиноми су симетрични или антисиметрични, зависно од n:
P
n
(
−
x
)
=
(
−
1
)
n
P
n
(
x
)
.
{\displaystyle P_{n}(-x)=(-1)^{n}P_{n}(x).\,}
Полиноми могу и да се представе преко поларнога угла:
P
n
(
cos
θ
)
=
1
2
n
n
!
d
n
d
(
cos
θ
)
n
(
cos
2
θ
−
1
)
n
{\displaystyle P_{n}(\cos \theta )={\frac {1}{2^{n}n!}}{\frac {d^{n}}{d(\cos \theta )^{n}}}(\cos ^{2}\theta -1)^{n}}
Постоји и рекурзивна релација, која укључује изводе:
(
2
n
+
1
)
P
n
(
x
)
=
d
d
x
[
P
n
+
1
(
x
)
−
P
n
−
1
(
x
)
]
.
{\displaystyle (2n+1)P_{n}(x)={d \over dx}\left[P_{n+1}(x)-P_{n-1}(x)\right].}
Адријен-Мари Лежандр је први увео Лежандрове полиноме 1782 . као коефицијенте развоја Њутновога гравитационога потенцијала, тако да је развио:
1
|
x
−
x
′
|
=
1
r
2
+
r
′
2
−
2
r
r
′
cos
γ
=
∑
ℓ
=
0
∞
r
′
ℓ
r
ℓ
+
1
P
ℓ
(
cos
γ
)
{\displaystyle {\frac {1}{\left|\mathbf {x} -\mathbf {x} ^{\prime }\right|}}={\frac {1}{\sqrt {r^{2}+r^{\prime 2}-2rr'\cos \gamma }}}=\sum _{\ell =0}^{\infty }{\frac {r^{\prime \ell }}{r^{\ell +1}}}P_{\ell }(\cos \gamma )}
где су
r
{\displaystyle r}
r
′
{\displaystyle r'}
x
{\displaystyle \mathbf {x} }
x
′
{\displaystyle \mathbf {x} ^{\prime }}
γ
{\displaystyle \gamma }
r
>
r
′
{\displaystyle r>r'}
∇
2
Φ
(
x
)
=
0
{\displaystyle \nabla ^{2}\Phi (\mathbf {x} )=0}
За потенцијал добија се:
Φ
(
r
,
θ
)
=
∑
ℓ
=
0
∞
[
A
ℓ
r
ℓ
+
B
ℓ
r
−
(
ℓ
+
1
)
]
P
ℓ
(
cos
θ
)
.
{\displaystyle \Phi (r,\theta )=\sum _{\ell =0}^{\infty }\left[A_{\ell }r^{\ell }+B_{\ell }r^{-(\ell +1)}\right]P_{\ell }(\cos \theta ).}
Поред обичних Лежандрових полинома поостоје и придружени Лежандрови полиноми
P
ℓ
m
(
x
)
{\displaystyle P_{\ell }^{m}(x)}
(
1
−
x
2
)
y
″
−
2
x
y
′
+
(
ℓ
[
ℓ
+
1
]
−
m
2
1
−
x
2
)
y
=
0
,
{\displaystyle (1-x^{2})\,y''-2xy'+\left(\ell [\ell +1]-{\frac {m^{2}}{1-x^{2}}}\right)\,y=0,\,}
Придружени Лежандрови полиноми
P
ℓ
m
(
x
)
{\displaystyle P_{\ell }^{m}(x)}
P
ℓ
(
x
)
{\displaystyle P_{\ell }(x)}
P
ℓ
m
(
x
)
=
(
−
1
)
m
(
1
−
x
2
)
m
/
2
d
m
d
x
m
(
P
ℓ
(
x
)
)
{\displaystyle P_{\ell }^{m}(x)=(-1)^{m}\ (1-x^{2})^{m/2}\ {\frac {d^{m}}{dx^{m}}}\left(P_{\ell }(x)\right)\,}
![{\displaystyle {d \over dx}\left[(1-x^{2}){d \over dx}P_{n}(x)\right]+n(n+1)P_{n}(x)=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bd51c7228067db4bea119843fb19c6caab834954)
![{\displaystyle P_{n}(x)={1 \over 2^{n}n!}{d^{n} \over dx^{n}}\left[(x^{2}-1)^{n}\right].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b9414fbe11099d281205ca2a2f051f405c2d348c)
![{\displaystyle (2n+1)P_{n}(x)={d \over dx}\left[P_{n+1}(x)-P_{n-1}(x)\right].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1aa454db60b7ec70d700443ad66eed44c67d7d8d)
![{\displaystyle \Phi (r,\theta )=\sum _{\ell =0}^{\infty }\left[A_{\ell }r^{\ell }+B_{\ell }r^{-(\ell +1)}\right]P_{\ell }(\cos \theta ).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a4139ff9f97346ce5b7ffc3b6b2cbefe070298f3)
![{\displaystyle (1-x^{2})\,y''-2xy'+\left(\ell [\ell +1]-{\frac {m^{2}}{1-x^{2}}}\right)\,y=0,\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5c6716f9d1977e6e496dfe7e5ba97b5da42965b9)
