Лежандрови полиноми

Из Википедије, слободне енциклопедије

Лежандрови полиноми представљају решења Лежандрове диференцијалне једначине:

Назив су добили по француском математичару Адријену-Мари Лежандру. Лежандрова диференцијална једначина често се сусреће у техници и физици, а посебно приликом решавања Лапласове једначине у сферном координатном систему.

Својства и полиноми[уреди]

Генерирајућа формула за Лежандрове полиноме је:

Лежандрови полиноми могу да се дефинишу и Родригезовом формулом:

Експлицитни развој полинома је:

Првих неколико полинома је:

Првих 6 Лежандрових полинома

Рекурзије[уреди]

Развојем формуле (1) за n=0 и n=1 добија се за прва два полинома:

Изводом формуле (1) добија се:

а одатле се добија рекурзивна релација:

Ортогоналност[уреди]

Лежандрови полиноми су ортогонални:

где је δmn Кронекерова делта функција.

Друга својства[уреди]

Лежандрови полиноми су симетрични или антисиметрични, зависно од n:

Полиноми могу и да се представе преко поларнога угла:

Постоји и рекурзивна релација, која укључује изводе:

Примена Лежандрових полинома у физици[уреди]

Адријен-Мари Лежандр је први увео Лежандрове полиноме 1782. као коефицијенте развоја Њутновога гравитационога потенцијала, тако да је развио:

где су и дужине вектора и , а је угао између та два вектора. Тај ред конвергира када је . Лежандрови полиноми појављују се и приликом решавања Лапласове једначине односно приликом решавања потенцијала у простору без наелектрисања.

За потенцијал добија се:

Придружени Лежандрови полиноми[уреди]

Поред обичних Лежандрових полинома поостоје и придружени Лежандрови полиноми , који представљају решења опште Лежандрове диференцијалне једначине:

Придружени Лежандрови полиноми повезани су са обичним Лежандровим полиномима следећом релацијом:

Литература[уреди]