Придружени Лежандрови полиноми

Из Википедије, слободне енциклопедије

Придружени Лежандрови полиноми представљају решења опште Лежандрове диференцијалне једначине:

Дефиниција за позитивне параметре ℓ и m[уреди]

Придружени Лежандрови полиноми повезани са обичним Лежандровим полиномима (m ≥ 0)

За обичне Лежандрове полиноме вреди:

Члан (−1)m у том изразу познат је као Кондон-Шотлијева фаза, коју неки аутори испуштају. Родригезовом формулом добија се:

па се онда придружени Лежандров полином може приказати као:

Лежандрови полиноми могу да се прикажу и као специјални случај хипергеометријске функције:

Ортогоналност[уреди]

Претпостављајући , они задовољавају услов ортогоналности за фиксни m:

При томе је Кронекерова делта функција.

Осим тога они задовољавају релацију ортогоналности за фиксни ℓ:

Првих неколико придружених Лежандрових полинома[уреди]

Рекурзивне релације[уреди]

Параметризација помоћу углова[уреди]

Придружени Лежандрови полиноми могу да се параметризирају помоћу углова, тј. :

Онда добијамо да је првих неколико полинома:

За фиксниm, су ортогоналне, параметризиране по θ преко , са тежином :

Такође за фиксни ℓ:

су решења од:

За горња једначина има несингуларна решења само за за целобројни , а решења су пропорционална .

Сферни хармоници[уреди]

Придружени Лежандрови полиноми сусрећу се у многим проблемима физике са сферном симетријом. Једначина у случају сферне симетрије може да се напише најпре уз помоћ лапласијана у сферним координатама:

Парцијална диференцијална једначина постаје:

Решава се сепарацијом варијабли по θ и φ, тако да је φ део облика или за целобројне m≥0, а онда преостаје једначина по θ:

за коју су решења придружени Лежандрови полиноми са и .

На тај начин добили смо да су једначина:

има несингуларна решења само за , а та решења пропорционална су:

и

За сваки постоји функција за различите m и они су ортогонални. Решења се обично пишу у облику:

При томе та решења називају се сферни хармоници.

Литература[уреди]