Несвојствени интеграл

Из Википедије, слободне енциклопедије

Несвојствени интеграл представља уопштење одређеног интеграла на неограничене интервале интеграције и неограничене подинтегралне функције.

Дефиниција[уреди]

Несвојствени интеграл за функцију , ако постоји , је интеграл по дефиницији једнак том лимесу, .

За , несвојствени интеграл једнак је Римановом, због непрекидности лимеса.

Врсте интеграла[уреди]

Разликују се несвојствени интеграли прве и друге врсте.[1]

Несвојствени интеграли прве врсте[уреди]

Код несвојствених интеграла прве врсте, подинтегрална функција је дефинисана на бесконачном интервалу интеграције. У зависности од интервала интеграције, разликују се три типа несвојствених интеграла са бесконачним интервалом који се дефинишу као граничне вредности, али на различите начине:

  • када је интервал интеграције полуоса затворена са леве стране, :
  • када је интервал интеграције полуоса затворена са десне стране, :
  • када је интервал цела бројевна права, :

где границе интеграцие и ка бесконачности теже независно.

Несвојствени интеграли друге врсте[уреди]

Несвојствени интеграли друге врсте су интеграли код којих је интервал интеграције коначан, али подинтегрална функција неограничена у једној тачки која се назива сингуларна тачка. Разликују се три типа несвојствених интеграла другог реда у зависности од положаја сингуларне тачке:

  • када је функција дефинисана у десно отвореном интервалу, , где :
  • када је функција дефинисана у лево отвореном интервалу, , где :
  • када је функција дефинисана у целом интервалу , изузев у једној унутрашњој тачки c, , у којој је неограничена :

Особине[уреди]

Преаском на лимес код особина Риманових интеграла, лако се добијају следеће особине несвојствених интеграла:

  • , ако постоји барем један од ова три израза.

Кошијев критеријум за несвојствене интеграле[уреди]

Интеграл постоји у несвојственом смислу ⇔ Ово се лако показује из Кошијевог конвергенционог критеријума, где се функција којој се одређује лимес замењује конкретним несвојственим интегралом .

Види још[уреди]

Референце[уреди]

  1. Додатак о несвојственим интегралима, Радован Оморјан, Технолошки факултет Нови Сад, приступљено: 22. мај 2014.