Покривач (математика)

Из Википедије, слободне енциклопедије

Дефиниција:

Покривачем скупа Y називамо произвољну фамилију подскупова  \mathbb{X} неког скупа X, тј. \mathbb{X}=\{X_i | i \in I\}, а Y \subset X ако важи:

Y \subset \bigcup_{i \in I} X_i, тј. ако сваки елемент скупа Y припада бар неком од чланова фамилије  \mathbb{X}.

Специјално, ако за неко J \subset I, и нека потфамилија  \mathbb{X}'=\{X_j | j \in J\} сама чини покривач скупа Y, тада кажемо да је фамилија  \mathbb{X}' потпокривач скупа Y.

Примена[уреди]

Покривач је појам који се највише користи у Теорији скупова и Топологији. У Реалној анализи под покривачем скупа подразумева се покривање неке криве интервалима.

Борел-Лебегова лема[уреди]

Vista-xmag.png За више информација погледајте чланак Борел-Лебегова лема

Једна од познатијих теорема из Реалне анализе у чијем се доказу користе покривачи, је тзв. Борел-Лебегова лема.

Лема

Из сваког покривача отвореним интервалима, одсечка реалне праве  [a, b] , може се издвојити коначан потпокривач.

Доказ

Означимо са  X скуп свих оних тачака  x за које важи да се одсечак  [a,x] може покрити коначним бројем отворених интервала. Тај скуп X очигледно није празан, јер му припада најпре тачка  a која према условима тврђења мора припадати неком отвореном интервалу. Потребно је доказати да и тачка  b припада скупу  X . Пошто скуп  X није празан и ограничен је одозго, он мора имати супремум. Нека је  y његов супремум. Ако претпостављамо да тачка b не припада том скупу, онда је  x \leq y \leq b , те и  y припада одсечку [a, b], па као и свака тачка тог сегмента, и  y припада неком отвореном интервалу (\alpha, \beta). Тада за неко  x важи:  \alpha \leq x \leq y , јер би иначе то  x било супремум скупа X. Интервал  (\alpha, \beta) можемо придружити скупу  X , зато што је могуће и одсечак  [a,y] прекрити са коначним бројем отворених интервала. Међутим, ако би било  y \neq b , тада би се између  y и  b нашло још чланова скупа X због отворености интервала (\alpha, \beta), што је у супротности са тиме да је  y супремум скупа X. Због тога, и  b припада скупу  X , чиме смо доказали да се одсечак [a, b] може прекрити са коначним бројем отворених интервала, што је и тврђење леме.

Види још[уреди]

Литература[уреди]

  • Душан Аднађевић, Зоран Каделбург: Математичка анализа 1, Студентски трг, Београд, 1995.