Покривач (математика)

Из Википедије, слободне енциклопедије

Дефиниција:

Покривачем скупа називамо произвољну породицу подскупова неког скупа , тј. , а ако важи:

, тј. ако сваки елемент скупа припада бар неком од чланова породице .

Специјално, ако за неко , и нека потпородица сама чини покривач скупа , тада кажемо да је породица потпокривач скупа .

Примена[уреди]

Покривач је појам који се највише користи у Теорији скупова и Топологији. У Реалној анализи под покривачем скупа подразумева се покривање неке криве интервалима.

Борел-Лебегова лема[уреди]

Главни чланак: Борел-Лебегова лема

Једна од познатијих теорема из Реалне анализе у чијем се доказу користе покривачи, је тзв. Борел-Лебегова лема.

Лема

Из сваког покривача отвореним интервалима, одсечка реалне праве , може се издвојити коначан потпокривач.

Доказ

Означимо са скуп свих оних тачака за које важи да се одсечак може покрити коначним бројем отворених интервала. Тај скуп очигледно није празан, јер му припада најпре тачка која према условима тврђења мора припадати неком отвореном интервалу. Потребно је доказати да и тачка припада скупу . Пошто скуп није празан и ограничен је одозго, он мора имати супремум. Нека је његов супремум. Ако претпостављамо да тачка не припада том скупу, онда је , те и припада одсечку , па као и свака тачка тог сегмента, и припада неком отвореном интервалу . Тада за неко важи: , јер би иначе то било супремум скупа . Интервал можемо придружити скупу , зато што је могуће и одсечак прекрити са коначним бројем отворених интервала. Међутим, ако би било , тада би се између и нашло још чланова скупа због отворености интервала , што је у супротности са тиме да је супремум скупа . Због тога, и припада скупу , чиме смо доказали да се одсечак може прекрити са коначним бројем отворених интервала, што је и тврђење леме.

Види још[уреди]

Литература[уреди]

  • Душан Аднађевић, Зоран Каделбург: Математичка анализа 1, Студентски трг, Београд, 1995.