Борел-Лебегова лема

Из Википедије, слободне енциклопедије

Поред назива Борел-Лебегова лема/теорема, алтернативни назив који се користи је и Хајне-Борелова теорема. Лема носи назив по француским математичарима Емилу Борелу и Хенрију Лебегу, односно Едварду Хајнеу.

У специјалном случају, лема описује једно важно својство одсечака реалне праве, док у општем смислу подразумева својство компактности метричких простора.

Дефиниција[уреди]

Борел-Лебегова лема: Из сваког покривача отвореним интервалима, одсечка реалне праве , може се издвојити коначан потпокривач.

Доказ[уреди]

Означимо са скуп свих оних тачака за које важи да се одсечак може покрити коначним бројем отворених интервала. Тај скуп очигледно није празан, јер му припада најпре тачка која према условима тврђења мора припадати неком отвореном интервалу. Потребно је доказати да и тачка припада скупу .


Пошто скуп није празан и ограничен је одозго, он мора имати супремум. Нека је његов супремум. Ако претпостављамо да тачка не припада том скупу, онда је , те и припада одсечку , па као и свака тачка тог сегмента, и припада неком отвореном интервалу . Тада за неко важи: , јер би иначе то било супремум скупа .


Интервал можемо придружити скупу , зато што је могуће и одсечак прекрити са коначним бројем отворених интервала. Међутим, ако би било , тада би се између и нашло још чланова скупа због отворености интервала , што је у супротности са тиме да је супремум скупа . Због тога, и припада скупу , чиме смо доказали да се одсечак може прекрити са коначним бројем отворених интервала, што је и тврђење леме.

Види још[уреди]

Литература[уреди]

  • Душан Аднађевић, Зоран Каделбург: Математичка анализа 1, Студентски трг, Београд, 1995.