Сурјективно пресликавање

У математици, за функцију f се каже да је сурјективна ако њене вредности испуњавају њен цео кодомен; то јест, за свако y у кодомену, постоји бар једно x у домену, такво да је f(x) = y. Сурјективна функција се назива сурјекцијом, и такође се назива на (функцијом).

Примери и контрапримери

За сваки скуп X, функција идентитета id_X на X је сурјективна.
Функкција f: 'R → R' дефинисана као f(x) = 2x + 1 је сурјективна, јер за сваки реалан број y постоји x, такво да је f(x) = y.
Природни логаритам ln: (0,+∞) → R је сурјекција.
Функција g: 'R → R' дефинисана као g(x) = x² није сурјективна, јер (на пример) не постоји реалан број x такав да x² = −1. Међутим, ако променимо кодомен у [0,+∞), тада g постаје сурјективна.
Функција f: Z → {0,1,2,3}' дефинисана као f(x) = x mod' 4 је сурјективна.

Својства

Функција f: X → Y је сурјектвина ако и само ако постоји функција g: Y → X таква да је f o g једнако функцији идентитета на Y. (Овај исказ је еквивалентан аксиоми избора.)
Ако су f и g обе сурјекције, тада је f o g сурјекција.
Ако је f o g сурјекција, тада је f сурјекција (али g не мора бити).
f: X → Y је сурјекција ако и само ако, за било које функције g,h:Y → Z, кад год је g o f = h o f, тада g = h.
Ако је f: X → Y сурјективна, и B је подскуп од Y, тада f(f⁻¹(B)) = B. Стога, B се може добити из f⁻¹(B).
Свака функција h: X → Z може бити разложена као h = g o f за одговарајућу сурјекцију f и инјекцију g. Ова декомпозиција је јединствена до на изоморфизам, и f се може посматрати као функција са истим вредностима као h али јој је кодомен ограничен на опсег h(W) од h, што је само подскуп кодомена Z од h.
Ако је f: X → Y сурјективна функција, онда X има најмање онолико елемената као Y, у смислу кардиналних бројева.
Ако су и X и Y коначни скупови, са истим бројем елемената, тада је f : X → Y сурјекција ако и само ако је f инјекција.

Види још