Бијекција

Из Википедије, слободне енциклопедије
Бијективна функција

У математици, за функцију f из скупа X у скуп Y се каже да је бијективна ако за свако y из Y постоји тачно једно x из X, такво да је f(x) = y.

Другим речима, f је бијекција ако је уједно и 1-1 (инјекција) и на (сурјекција) између ова два скупа.

На пример, бијективна је функција „насл“, дефинисана на скупу целих бројева Z → Z, тако да сваки цео број x пресликава у цео број насл(x) = x + 1. Други пример може бити функција „збиразл“, која сваки пар реалних бројева (x,y) пресликава у пар збиразл(x,y) = (x + y, x − y).

Бијективна функција, или бијекција се такође назива и пермутацијом. Овај назив се углавном користи када је X = Y. Скуп свих бијекција из X у Y се означава као X{}\leftrightarrow{}Y.

Бијективне функције играју важну улогу у многим областима математике, на пример у дефиницији изоморфизма.

Композиција и инверзија[уреди]

Функција f је бијекција акко је њена инверзна функција f −1 функција (а не тек уопштена функција). У том случају, f −1 је такође бијекција.

Композиција g o f две бијекције f\;:\; X{}\leftrightarrow{}Y и g\;:\; Y{}\leftrightarrow{}Z је бијекција. Инверз g o f је (g o f)−1 = (f −1o (g−1).

Бијекција састављена од инјекције и сурјекције.

Са друге стране, ако је композиција g o f две функције бијекција, можемо у општем случају рећи само да је f инјекција, а g сурјекција.

Релација f из X у Y је бијекција ако и само ако постоји друга релација g из Y у X, таква да је g o f идентитет на X, а f o g је идентитет на Y. Таква два скупа X и Y имају исту кардиналност.

Бијекције и кардиналност[уреди]

Ако су X и Y коначни скупови, тада постоји бијекције између скупова X и Y акко X и Y имају исти број елемената. У ствари, у аксиоматској теорији скупова, ово се и узима као дефиниција „истог броја елемената“, и генерализација ове дефиниције за бесконачне скупове доводи до концепта кардиналних бројева, који су начин да се разликују величине бесконачних скупова.

Примери и контрапримери[уреди]

  • За сваки скуп X, идентична функција idX из X у X, дефинисана као idX(x) = x, је бијекција.
  • Функција f из скупа реалних бројева R у R дефинисана као f(x) = 2x + 1 је бијекција, јер за свако y постоји јединствено x = (y − 1)/2 такво да f(x) = y.
  • Експоненцијална функција g : R \rightarrow R, са g(x) = ex, није бијекција: на пример, не постоји x из R, таво да g(x) = −1, што показује да g није сурјекција. Међутим, ако се кодомен промени у позитивне реалне бројеве R>0 =]0,+∞), тада g постаје бијекција; њен инверз је природни логаритам, ln.
  • Функција h : R \rightarrow [0,+∞) дефинисана као h(x) = x² није бијекција: на пример, h(−1) = h(+1) = 1, што показује да h није инјекција. Међутим, ако се њен домен промени у [0,+∞), тада h постаје бијекција; њен инверз постаје функција позитивног квадратног корена.
  • \mathbf{R} \to \mathbf{R} : x \mapsto (x-1)x(x+1) = x^3 - x није бијекција, јер −1, 0, и +1 који су сви у домену пресликава у 0.
  • \mathbf{R} \to [-1,1] : x \mapsto \sin(x) није бијекција, јер и π/3 и 2π/3 који су у домену пресликава у (√3)/2.

Својства[уреди]

  • Функција f из R у R је бијекција ако и само ако било која хоризонтална линија пресеца њен граф у тачно једној тачки.
  • Ако је X скуп, онда бијективне функције скупа X на самог себе, заједно са операцијом композиције функција, граде групу, симетричну групу скупа X, која се означава S(X), SX, или X! (последње се чита "X факторијел"). Доказује се да је свака група G изоморфна некој подгрупи симетричне групе S(G).
  • Ако је f бијекција, тада за сваки подскуп A домена и сваки подскуп B кодомена вреди f(A)| = |A| и f−1(B)| = |B|.
  • Ако су X и Y коначни скупови исте кардиналности, и fX → Y, тада су следећи искази еквивалентни:
  1. f је бијекција.
  2. f је сурјекција.
  3. f је инјекција.

Види још[уреди]